Александр Филиппов - Многоликий солитон

С другими уравнениями и их солитонными решениями читатель может познакомиться по книгам: Солитоны в действии/Под ред. К. Лонгрена, Э. Скотта. — М.: Мир, 1981; Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. — М.: Мир, 1987. В этих книгах описаны и многие физические приложения теории солитонов.

4. В этой книге мы не касались математической теории солитонов. Ее основы были заложены в конце 60-х — начале 70-х годов. Развитие математической теории солитонов началось с работы Гарднера, Грина, Крускала и Миуры, в которой был предложен метод решения уравнения КдФ (1967 г.). В следующем году П. Лакс существенно обобщил этот метод. В 1971 г. В. Е. Захаров и А. Б. Шабат распространили идеи ГГKM на другие типы уравнений, в частности на нелинейное уравнение Шредингера. В том же году В. Е. Захаров и Л. Д. Фаддеев доказали полную интегрируемость уравнения КдФ, рассматривая его как бесконечномерную гамильтонову систему уравнений. Во всех этих работах разрабатывался так называемый метод «обратной задачи рассеяния», в котором решение нелинейных уравнений сводилось к решению некоторых линейных уравнений, связанных с квантово-механической теорией рассеяния. В том же году Р. Хирота предложил прямой метод построения солитонных решений различных уравнений, использующий более простой математический аппарат. С работы Абловица, Каупа, Ньюэлла и Сигура (1973 г.) началась систематизация интегрируемых уравнений и классификация различных типов солитонов, в частности была доказана полная интегрируемость уравнения «синус-Гордона» и начались поиски других солитонов. В 1974 — 1975 гг. был найден общий подход к построению точных периодических решений уравнения КдФ (С. П. Новиков и др.), опирающийся на глубокие математические результаты Римана, Абеля и Якоби. Развитие этого подхода недавно привело к установлению нетривиальных связей между математической теорией солитонов и теорией струн.

Более полный обзор истории и современного развития математической теории солитонов можно найти в книгах: Солитоны/Под ред. Р. Буллафа, Ф. Кодри. — М.: Мир, 1983; Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. — М.: Мир, 1989.

В книге Ньюэлла отражены современные взгляды на теорию солитонов, согласно которым наиболее интересны не отдельные солитонные решения нелинейных уравнений и даже не сами эти уравнения. Наибольший интерес представляют связи между различными на первый взгляд классами солитонов, их глубокое внутреннее родство. Изучение этих связей выявляет удивительную универсальность и глубину идей и методов теории солитонов. Последовательное изложение математической теории солитонов, доступное читателям с хорошей математической подготовкой, можно найти в книгах: Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский Л. П. Теория солитонов. — М.: Наука, 1980; Тахтаджян, Л. А., Фаддеев Л. Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. — М.: Наука, 1986.