Андрей Павлов - Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, две другие стороны называются катетами.

?ABC – прямоугольный (?А = 90°). АВ и АС – катеты, ВС – гипотенуза.

Треугольник называется остроугольным, если все его углы – острые. Треугольник называется тупоугольным, если у него есть тупой угол.

?ABC – остроугольный, ?А < 90° (рис. 25, а);

?ABC – тупоугольный, ?А > 90° (рис. 25, б).

Рис. 25.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух любых сторон треугольника (рис. 26).

Рис. 26.

EF – средняя линия ?ABC (АЕ = ЕВ. CF = FB).

Египетским называется прямоугольный треугольник, у которого длины сторон выражаются целыми числами (например:3, 4, 5 или 5, 12, 13 и так далее).

Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудалённых от заданной точки. Эта заданная точка называется центром окружности.

Расстояние от точек окружности до её центра называется радиусом окружности. Радиусом называется также отрезок, соединяющий любую точку окружности с её центром (рис. 27).

Рис. 27.

ОА – радиус окружности.

Радиусы окружностей часто обозначают буквами R или r, т. е. ОА = R или ОА = r.

Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью (рис. 28).

Рис. 28.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр, называется диаметром окружности (рис. 29).

Рис. 29.

АВ – диаметр окружности, CD – хорда.

Диаметры окружностей часто обозначают буквами D или d. Очевидно, что D = 2R или d = 2 r.

Дуга окружности – это её часть, ограниченная двумя точками окружности (рис. 30).

Рис. 30.

Точки А и В делят окружность на две дуги:1 и 2.

Сектор круга – часть круга, ограниченная двумя радиусами и соответствующей дугой (рис. 31).

Рис. 31.

Радиусы ОА и ОВ разделили круг на два сектора:1 и 2.

Сегмент круга – это часть круга, ограниченная хордой и соответствующей дугой (рис. 32).

Рис. 32.

Хорда АВ делит круг на два сегмента:1 и 2.

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины (рис. 33).

Рис. 33.

ОА = ОВ = ОС = R.

Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно к нему, называют серединным перпендикуляром (рис. 34). В связи с этим говорят, что центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

а – серединный перпендикуляр к отрезку АВ (АО = ОВ).

Рис. 34.

Прямая, проходящая через точку окружности в той же плоскости перпендикулярно к радиусу, проведённому в эту точку, называется касательной. При этом данная точка окружности называется точкой касания (рис. 35).

Рис. 35.

а – касательная к окружности, А – точка касания, а ? ОА.

Говорят, что две окружности, имеющие общую точку, касаются в этой точке, если они имеют в этой точке общую касательную. Касание окружностей называется внутренним, если центры окружностей лежат по одну сторону от их общей касательной. Касание окружностей называется внешним, если центры окружностей лежат по разные стороны от их общей касательной (рис. 36, а; б).

Рис. 36.

а – общая касательная к двум окружностям, К – точка касания.

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон (рис. 37).

Рис. 37.

Точки K, L, M – это точки касания окружности, вписанной в ?ABC. OK = OL = OM = r.

В задачах на построение речь идет о построении геометрической фигуры с помощью данных чертёжных инструментов. Такими инструментами чаще всего являются линейка и циркуль. Решение задачи состоит не столько в построении фигуры, сколько в решении вопроса о том, как это сделать, и соответствующем доказательстве. Задача считается решённой, если указан способ построения фигуры и доказано, что в результате выполнения указанных построений действительно получается фигура с требуемыми свойствами.

С помощью линейки, как инструмента геометрических построений, можно провести произвольную прямую; произвольную прямую, проходящую через данную точку; прямую, проходящую через две данные точки. Никаких других операций выполнить линейкой нельзя. В частности, нельзя откладывать линейкой отрезки, даже если на ней имеются деления.

Циркуль, как инструмент геометрических построений, позволяет описать из данного центра окружность определенного радиуса. Циркулем также можно отложить определенный отрезок на данной прямой от заданной точки.

Геометрическим местом точек называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, обладающих определённым свойством.

Например, окружность можно определить как геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от данной точки.

Сущность метода геометрических мест, используемого при решении задач, состоит в следующем. Пусть, решая задачу, нам надо найти точку X, удовлетворяющую двум условиям. Геометрическое место точек, удовлетворяющих первому условию, есть некоторая фигура F1, а геометрическое место точек, удовлетворяющих второму условию, есть некоторая фигура F2. Искомая точка X принадлежит F1 и F2 т. е. является их точкой пересечения. Если эти геометрические места простые (скажем, состоят из прямых и окружностей), то мы можем их построить и найти интересующую нас точку X.