Андрей Павлов - Математические олимпиады по лигам. 5-9 классы

5. Ковбоя Джо приговорили к смертной казни на электрическом стуле. Ему известно, что из двух электрических стульев, стоящих в специальной камере, один неисправен. Кроме того, Джо известно, что если он сядет на этот неисправный стул, казнь не повторится и он будет помилован. Ему известно также, что стражник, охраняющий стулья, через день на все вопросы отвечает правду, а через день – ложь.

Приговоренному разрешается задать стражнику ровно один вопрос, после чего надо выбрать, на какой электрический стул садиться. Какой вопрос Джо может задать стражнику, чтобы наверняка выяснить, какой стул неисправен?

6. Найдите такие натуральные числа х, у, z, что

1. Специально обученные собака и кошка участвуют в забеге: вперед по прямой до стены и обратно. Собака преодолевает за один прыжок 3 м, а кошка-только 2; но зато она делает 3 прыжка, в то время как собака делает 2. Скажите, каков при этих обстоятельствах возможный исход состязания, если до стены а) 12 м; б) 14 м; в) 15 м? Все ответы обоснуйте.

2. Один человек собирался построить дом и выяснил, что ему придется заплатить 1100 долларов обойщику и маляру, 1700 долларов маляру и жестянщику, 1100 долларов жестянщику и электрику, 3300 долларов электрику и плотнику, 5300 долларов плотнику и каменщику, 3200 долларов каменщику и маляру. Во сколько обошлось человеку строительство дома?

3. Найдите наименьшее натуральное число, которое, будучи разделено на 2, дает в остатке 1, при делении на 3 дает в остатке 2, при делении на 4 дает в остатке 3, при делении на 5 дает в остатке 4, при делении на 6 дает в остатке 5, но на 7 это число делится нацело.

4. Велосипедист, двигаясь по ветру, проезжает милю за 3 мин, а на обратном пути против ветра он преодолевает милю за 4 мин. Допустим, что он все время крутит педали с одинаковой силой, тогда, сколько ему понадобится времени, чтобы проехать милю при отсутствии ветра?

5. Один делец продал велосипед за 50 долларов, совершив тем самым эквивалентный обмен. Затем он выкупил его назад за 40 долларов, что, очевидно, принесло ему доход в 10 долларов, поскольку в итоге у него оказался тот же велосипед да еще 10 долларов впридачу. Далее, выкупив велосипед за 40 долларов, он продал его за 45 долларов, получив дополнительный доход в 5 долларов, так что общий доход составил 15 долларов.

– Постойте, – сказал бухгалтер. – Но ведь человек начал с велосипеда стоимостью в 50 долларов, а после вторичной продажи у него осталось 55 долларов. Как же он умудрился получить доход, превышающий 5 долларов? Ведь продав велосипед за 50 долларов, он просто совершил обмен, не получив дохода и не понеся убытков. Когда же он купил его за 40 долларов, а продал за 45 долларов, то получил при этом доход в 5 долларов. Вот и все.

– А я полагаю, – возразил счетовод, – что когда он продал велосипед за 50 долларов, а выкупил его за 40 долларов, то совершенно ясно, он получил доход в 10 долларов, ибо имел после этого тот же самый велосипед да еще 10 долларов. Но вот когда он вновь продал велосипед за 45 долларов, то просто совершил уже упомянутый ранее обмен, так что на этой операции у него не было ни дохода, ни убытков. Причем последняя операция не затронула первый доход; поэтому в итоге доход человека оказался равным 10 долларам.

Все эти операции крайне просты; относящиеся сюда подсчеты может сделать в уме любой первоклассник. И тем не менее перед нами три разных ответа! Который из них, по вашему мнению, правильный?

6. Решите уравнение

В ответе запишите значение выражения 161 ? х – 1.