Георг Гегель - Наука логики. Том 2

Доказательство такой теоремы – она требовала бы доказательства, если бы она была синтетическим предложением, – состояло бы лишь в операции определенного 7-ю дальнейшего сосчитывают начиная с 5-ти и в познании совпадения результата этого дальнейшего счета с тем, что и в других случаях называется 12-ю и что, в свою очередь, есть не что иное, как именно само это определенное дальнейшее сосчитывание. Поэтому вместо формы теоремы сразу же берут форму задачи , требования действия, а именно, высказывается лишь одна сторона того уравнения, которое составило бы теорему, другая же сторона этого уравнения должна быть найдена путем решения этой задачи. Задача заключает в себе содержание и указывает то определенное действие, которое должно быть произведено над ним. Действие не ограничено каким-либо неподатливым, наделенным специфическими отношениями материалом, а представляет собой внешнюю субъективную операцию, и материал безразлично принимает те определения, которые в нем полагаются этим действием. Вся разница между поставленными в задаче условиями и полученным в решении результатом состоит лишь в том, что в последнем действительно произведено соединение или разъединение тем определенным образом, как было указано в задаче.

Применение здесь формы геометрического метода, относящегося к синтетическим предложениям, и присоединение вслед за решением задачи также и доказательства представляют собой поэтому совершенно излишнее сооружение. Это доказательство не может выразить ничего другого, кроме той тавтологии, что решение правильно, потому что действие произведено так, как было задано. Если задача требует сложить несколько чисел, то решение состоит в том, что их действительно складывают; доказательство же показывает, что решение правильно, потому что было задано сложить и было произведено сложение. Если задача заключает в себе более сложные определения и действия, скажем, например, перемножить десятичные числа [102], а решение не указывает ничего, кроме механического приема, то в этом случае действительно требуется доказательство; но это доказательство не может состоять ни в чем другом, как только в анализе тех определений и действий, из которых решение получается само собой. В силу этого отделения решения , как некоторого механического приема, от доказательства , как припоминания природы подлежащего действию предмета и самого действия, как раз утрачивается преимущество аналитической задачи, заключающееся в том, что построение непосредственно выводится из задачи и потому само по себе может быть изложено как понятное для рассудка , между тем как, действуя иначе, мы ясно выраженным образом сообщаем построению недостаток, свойственный синтетическому методу. В высшем анализе, где, главным образом в связи со степенным отношением, появляются качественные и зависящие от понятийных определенностей отношения дискретных величин, задачи и теоремы действительно содержат в себе синтетические определения; там приходится брать в качестве средних членов другие определения и отношения, чем те, которые непосредственно указаны задачей или теоремой. Однако и эти вспомогательные определения непременно должны быть такого рода, чтобы они имели свое основание в том, что здесь принимается в соображение и развивается одна из сторон задачи или теоремы; то обстоятельство, что они выглядят синтетическими, происходит исключительно оттого, что задача или теорема сама не называет наперед этой стороны. Задача, например, найти сумму степеней корней уравнения решается посредством рассмотрения и затем соединения функций, представляющих собой коэффициенты уравнения корней. Взятое здесь в помощь определение функций коэффициентов и соединения этих функций не выражено наперед в задаче, но во всем прочем само развертывание совершенно аналитично. Подобным же образом решение уравнения X m – 1 = 0 с помощью синусов, а также имманентное, как известно, найденное Гауссом [103]алгебраическое решение при помощи рассмотрения остатка от делениях X m -1– 1 = 0 на m и так называемых первообразных корней – одно из важнейших расширений анализа Новейшего времени – есть синтетическое решение, так как использованные тут вспомогательные определения (синусы или рассмотрение остатков) не являются определениями самой задачи.

О природе того анализа, который рассматривает так называемые бесконечные разности переменных величин, т. е. о природе дифференциального и интегрального исчисления, мы говорили более подробно в первой части этой логики. Там мы показали, что в основании этого анализа лежит качественное определение величин, которое можно уразуметь только через понятие. Переход от величины как таковой к этому определению уже не аналитичен. Математика до сего дня не была в состоянии оправдать действия, покоящиеся на этом переходе, собственными силами, т. е. математическим путем, именно потому, что природа этого перехода не математическая. Лейбниц , которому приписывается слава преобразования операций с бесконечными разностями в вычисление , сделал указанный переход, как мы об этом говорили там же, самым неудовлетворительным образом, столь же чуждым понятию, сколь и нематематическим; но раз мы предположим этот переход – а при нынешнем состоянии науки он представляет собой не больше, чем предположение, – то все дальнейшее представляет собой действительно лишь ряд обыкновенных аналитических действий.

Мы упомянули, что анализ становится синтетическим, поскольку он приходит к таким определениям , которые уже не положены самими задачами. Но всеобщий переход от аналитического к синтетическому познанию вызывается необходимостью перехода от формы непосредственности к опосредствованию, от абстрактного тождества к различию. Аналитическое познание не идет в своей деятельности дальше определений вообще, поскольку они соотносятся с самими собой; но, в силу их определенности , их природа существенно такова, что они соотносятся также и с некоторым другим . Мы уже сказали, что если аналитическое познание и переходит к таким отношениям, которые представляют собой не данный извне материал, а определения мысли, оно все же остается аналитическим, поскольку для него и эти отношения также суть данные . Но так как абстрактное тождество, которое это познание признает своим единственным принципом, есть, по существу, тождество различённого , то оно и как таковое должно входить в состав познания, и для субъективного понятия должна стать положенной им и тождественной с ним также и связь .