Алексей Марков - Хулиномика 4.0 [хулиганская экономика. Ещё толще. Ещё длиннее]

Расскажу простую историю, чтобы вы интуитивно всё поняли. Чтобы максимально всё упростить, мы переедем в мир, где у акции есть всего две цены. Это будет биномиальный мир. Пусть у нас есть всего два варианта стоимости акции: дёшево и дорого, ок?

И время у нас тоже предельно упрощено.

Есть только два дня, сегодня и завтра – день экспирации. Будет цена на акцию, и она может пойти либо вверх, либо вниз.

Теперь рассмотрим портфель из акции и опциона. Я куплю ровно столько акций, сколько продам (выпишу) коллов на неё. Если цена завтра сходит вверх, опцион у его покупателя окажется в деньгах, и он его реализует. Исполняя этот опцион, я отдам покупателю купленные акции. При этом я ничего не теряю (я же их купил еще по сегодняшней цене), а зарабатываю на цене опциона.

Если цена пойдет вниз, покупатель его реализовывать не будет. У меня на руках останутся акции, которые я купил сегодня задорого, и которые подешевели. То есть я заработаю цену проданных опционов, но мои акции упадут.

При этом я собрал портфель, у которого нулевой риск. Если у меня акций столько же, сколько я продал опционов, тогда никакого риска нет – по исполненным опционам я отдам контрагенту свои акции. Если у портфеля нет риска, то приносить он должен как раз безрисковую ставку доходности. Это всё равно что безрисковое вложение. Тогда можно подставить в уравнение всё, кроме цены колла, и найти её.

Это следствие того, что формула получается из безарбитражных условий. Арбитраж (в финансах) означает возможность заработать без риска. Например, продать акции Тинькова в Лондоне по 8 долларов, продать доллары по 60 рублей, и в тот же день купить те же акции в Москве по 470 рублей. Если у нас есть счета и там, и там, нам всё равно, где хранятся акции, и если такая возможность реально найдётся, с каждой акции мы получаем безрисковые 10 рублей (60 × 8 – 470), тогда как акции остаются у нас в портфеле. Арбитраж намекает на то, что нельзя заработать больше безрисковой ставки, не беря на себя риск.

Если бы это было возможно – представим, что безрисковая ставка у нас 5 %, а тут нашлась возможность заработать 6 % годовых, тогда я займу под 5 % и вложу всё в шестипроцентную тему. И я буду так делать до скончания веков. Это слишком жирная возможность обогатиться, чтоб её упускать. И один из самых мощных выводов теоретических финансов заключается в том, что ни одна возможность арбитража не держится сколь-нибудь долго.

Это всё равно что сказать, что на тротуаре обычно не валяются купюры в 1000 рублей. Идёшь по Тверской – там косарик в луже лежит. Думаешь – ну, наверное, это какой-то подвох. Кто-то бы точно подобрал! У американских африканцев даже игра есть такая – пять баксов привязывают к леске и дёргают, как только кто-то за ними потянется. Но это я не из-за расизма, а проиллюстрировать, что деньги обычно на дороге не валяются.

Это означает, что, если цена на опцион не следует формуле, на рынке что-то не так. Интересно, что нам не нужна вероятность падения или роста рынка, чтобы оценить наш опцион. Кто-то скажет: погодите, у меня тут интуиция и я хочу купить опцион, потому что он может принести деньги. Когда речь шла о котировках из газеты, там за 45 центов можно было купить опцион колл со страйком 25 – дёшево, потому что вряд ли цена акции уйдёт так сильно выше, она же сейчас стоит всего $21,85. Кажется, что опцион должен быть фундаментально привязан к вероятности попасть в деньги, но это не так. Никакой вероятности тут не зашито. Факт в том, что не нужно знать вероятность попадания опциона в деньги, чтобы выставить на него цену, потому что её можно определить исходя из безрисковых условий. Это, пожалуй, контринтуитивно, зато интересно.

Эти рассуждения приводят к знаменитой формуле опционов Блэка – Шоулза. Её придумали в семидесятых годах Фишер (что за имя – Фишер?!) Блэк и Майрон Шоулз. Блэк уже умер, а Шоулз вполне себе здравствует и даже получил нобелевку (сразу за двоих). Они вообще, эти придумщики, страсть какие живучие.

Приводить её здесь нет большого смысла, но факт в том, что, имея цену акции, время до истечения опциона, ставку, цену исполнения, волатильность (квадратный корень из дисперсии) акции, можно посчитать цену опциона.

Давайте-таки попробуем оценить опционы по модели Блэка – Шоулза. Формула происходит из отсутствия возможностей арбитража и не включает в себя вероятность. Но у неё есть сигма – стандартное отклонение изменений цены базового актива (акции) и кое-что ещё – предположение, что изменения цен распределены нормально, то есть по гауссиане.

Кто-то может сказать, что теорвер таки прокрался сквозь заднюю дверь, потому что там есть взвешенная вероятность изменения цен на акции. Хотя в действительности неопределённости тут никакой нет – есть только стандартное отклонение. Хотя и прошлых периодов. Про будущие-то мы ничего не знаем.

Перейдём к подразумеваемой волатильности. Уравнение ведь можно использовать двумя способами. Традиционный – это посчитать, сколько должен стоить опцион, чтобы понять, не платите ли вы за него слишком много или слишком мало. Достаточно знать цену акции, цену исполнения и дату экспирации. Надо посмотреть ставку и подсчитать стандартное отклонение изменений цен на акцию. Тогда можно получить цену опциона.

Но формулу можно и развернуть! Если я знаю цену опциона, можно высчитать подразумеваемую сигму. Все остальные данные-то есть. Выходит, можно вычислить изменчивость цены на акции, основываясь на ценах рынка опционов.

Если цены на коллы высоки, хочется узнать почему. И насколько они высоки по сравнению с прошлыми годами? Может быть, это потому, что люди думают, что их с большой вероятностью можно будет исполнить, так ведь? Или если колл вне денег дорогой, значит, люди думают, что сигма базовой акции слишком высока.

Таким образом, подразумеваемая волатильность – это мнение опционного рынка насчёт того, как изменчива будет цена акции между сегодняшней датой и датой исполнения. Чикагская биржа придумала индекс VIX, его ещё называют индексом страха. Они подсчитали, основываясь на ценах опционов, мнение рынка производных касательно волатильности акций. Попытались узнать, что за информацию дают нам текущие цены на путы и коллы.

То есть VIX – это сигма из уравнения Блэка – Шоулза. Хотя биржевая формула учитывает взвешенные цены сразу многих опционов «вне денег», сути это не меняет. Говоря умным языком, это ожидание будущего стандартного отклонения цен на акции из индекса S&P500. Индекса на один месяц, умноженного на корень из 12, потому что им нужен годовой показатель. Почему они умножают её на корень из 12? Потому что вспомните правило корня из портфельных вычислений. Цены акций не зависят друг от друга от месяца к месяцу, поэтому годовое стандартное отклонение будет в √12 раз больше сигмы одного месяца.