Чарльз Уилан - Голая статистика. Самая интересная книга о самой скучной науке

Существует шесть способов выбросить 7 при подбрасывании двух игральных костей: (1,6); (2,5); (3,4); (6,1); (5,2) и (4,3) и лишь два способа выбросить 11: (5,6) и (6,5).

Между тем есть 36 возможных вариантов результата подбрасывания двух игральных костей: (1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6). И (2,1); (2,2); (2,3); (2,4); (2,5); (2,6). И (3,1); (3,2); (3,3); (3,4); (3,5); (3,6). И (4,1); (4,2); (4,3); (4,4); (4,5); (4,6). И (5,1); (5,2); (5,3); (5,4); (5,5); (5,6). И наконец, (6,1); (6,2); (6,3); (6,4); (6,5) и (6,6).

Следовательно, вероятность выпадания 7 или 11 равняется количеству возможных способов выбросить любое из этих двух чисел, деленное на общее количество возможных вариантов при подбрасывании двух игральных костей, то есть 8/36. Между прочим, значительная часть ранних исследований вероятности выполнялась именно любителями азартных игр в попытках точно определить свои шансы.

Полное математическое ожидание для однодолларового билета мгновенной лотереи в штате Иллинойс (округленное до ближайшего цента) подсчитывается следующим образом: 1/15×($2) + 1/42,86×($4) + 1/75×($5) + 1/200×($10) + 1/300×($25) + 1/1589×($50) + 1/8000×($100) + 1/16 000×($200) + 1/48 000×($500) + 1/40 000×($1000) = $0,13 + $0,09 + $0,07 + $0,05 + $0,08 + $0,03 + $0,01 + $0,01 + $0,01 + $0,03 = $0,51. Однако существует также шанс 1/10 получить в качестве выигрыша бесплатный лотерейный билет; ожидаемый доход этого варианта составляет 0,51 доллара; таким образом, ожидаемый доход в целом равняется $0,51 + 0,1×($0,51) = $0,51 + $0,05 = $0,56.

Строго говоря, для правильного подсчета математического ожидания необходимо, чтобы сумма вероятностей всех возможных исходов равнялась 1. Здесь же сумма вероятностей представленных исходов составляет 0,2659. Однако, если принять, что с вероятностью 1–0,2659 = 0,7341 выпадает билет без всякого выигрыша (то есть выигрыш равен 0), тогда математическое ожидание подсчитано правильно. Прим. ред .

Ранее в этой книге я привел пример, в котором упоминалось о нетрезвых работниках, выпускающих бракованные лазерные принтеры. Выбросьте его из головы: будем исходить из того, что компания, выпускающая лазерные принтеры, уже решила проблемы с качеством.

Так как я советовал вам с осторожностью относиться к описательным статистикам, я чувствую себя обязанным отметить, что автомобиль, который угоняют чаще всего, вовсе не обязательно является автомобилем, который угоняют вероятнее всего. Большое число автомобилей марки Honda Civic угоняют именно потому, что это самая распространенная марка, между тем как вероятность угона какого-либо отдельно взятого автомобиля марки Honda Civic (а именно это интересует страховые компании, страхующие от угона автомобилей) может оказаться весьма низкой. Напротив, даже если угоняют 99 % всех автомобилей Ferrari, автомобиль этой марки не возглавил бы список «наиболее часто угоняемых», поскольку таких автомобилей сравнительно мало и, следовательно, их угоняют довольно редко.

Вы можете сыграть в эту игру на сайте http://www.nytimes.com/2008/04/08/science/08monty.html?_r=2&oref=slogin&oref=slogin.

Издана на русском языке: Талеб Н . Черный лебедь. Под знаком непредсказуемости. – М.: КоЛибри, 2009.

СВСМ по-прежнему остается медицинской загадкой, хотя многие из факторов риска, связанных с этим феноменом, удалось выявить. Например, смертность у младенцев можно резко снизить, если ребенка укладывать спать на спину.

Вместе с тем в теории вероятностей доказан факт, что если достаточно долго подбрасывать монету, то будут наблюдаться периоды преобладания выпадания орла или решки. Это так называемый первый закон арксинуса. Этот закон не отменяет сказанного автором, а только показывает структуру исходов в испытаниях Бернулли. О данном феномене см., например, классическую книгу В. Феллер . Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 1. Глава III. Прим. ред .

Chicago Cubs – профессиональный бейсбольный клуб, выступающий в Центральном дивизионе Национальной бейсбольной лиги. Прим. перев .

Указанное изменение политики Еврокомиссии было в конечном счете разъяснено в особом постановлении Верховного суда Евросоюза от 2011 года. В этом постановлении было указано, что применение разных надбавок к мужчинам и женщинам представляет собой дискриминацию по половому признаку.

Известный принцип программирования, в соответствии с которым неверные входные данные не могут привести к правильному результату. Прим. перев .

На тот момент средняя продолжительность этой болезни составляла сорок три дня со среднеквадратическим отклонением, равным двадцати четырем дням.

Standard & Poor’s 500 – показательный пример того, что может и должен делать любой индекс. Этот индекс составлен из цен акций 500 ведущих американских компаний с учетом рыночной стоимости каждой из этих компаний (так, чтобы более крупные компании имели в этом индексе больший вес, чем мелкие). Данный индекс – простой и точный показатель того, что происходит с ценами акций крупнейших американских компаний в любой момент времени.

С очень интересным обсуждением того, почему следует отдать предпочтение покупке индексных фондов, вместо того чтобы пытаться превзойти рынок, можно ознакомиться в книге моего бывшего преподавателя, профессора Бертона Малкиела (Burton Malkiel) A Random Walk Down Wall Street (Случайная прогулка по Уолл-стрит. – Минск: Попурри, 2006).

Леброн Рэймон Джеймс (LeBron Raymone James) – американский профессиональный баскетболист, играющий на позиции легкого и тяжелого форварда за команду НБА «Кливленд Кавальерс». Прим. перев .

Обратите внимание на весьма остроумное использование в данном случае ложной точности.

Когда среднеквадратическое отклонение соответствующей совокупности вычисляется на основании меньшей выборки, приведенная нами формула несколько видоизменяется: SE = s ÷ √( n − 1). Это помогает учесть то обстоятельство, что дисперсия в малой выборке может «недооценивать» дисперсию всей совокупности. Это не имеет особого отношения к более универсальным положениям, о которых идет речь в данной главе.

Мой коллега из Чикагского университета, Джим Сэлли, сделал очень важное критическое замечание по поводу примеров с пропавшим автобусом. Он указал, что пропавший автобус – чрезвычайно большая редкость в наше время. Поэтому если нам придется искать какой-нибудь пропавший автобус, то любой встретившийся нам автобус, который окажется пропавшим или поломавшимся, наверняка будет именно тем автобусом, который нас интересует, каким бы ни был вес пассажиров в этом автобусе . Пожалуй, Джим прав. (Воспользуюсь такой аналогией: если вы потеряли в супермаркете своего ребенка и дирекция этого магазина сообщает по радио, что возле кассы номер шесть стоит чей-то потерявшийся ребенок, то вы наверняка сразу же решите, что речь идет именно о вашем ребенке.) Следовательно, нам не остается ничего другого, как дополнить наши примеры еще одним элементом абсурда, полагая, что пропажа автобуса является вполне рядовым событием.