Рэймонд Смаллиан - Алиса в стране смекалки

Действительно, ни рыцарь, ни лжец не могли бы сказать о себе такое. Рыцарь никогда не лжет и не станет утверждать, будто он не рыцарь. Лжец всегда лжет и не станет признаваться, что он не рыцарь. Значит, такое заявление мог бы сделать только шпион.

45. Хитрый шпион. Если бы A ответил на вопрос судьи "да", то тем самым он изобличил себя как шпиона, так как судья (вместе с присяжными) мог бы рассуждать следующим образом:

"Предположим, что B шпион. Тогда все трое обвиняемых дали бы правдивые показания, что невозможно, так как один из них лжец. Следовательно, B не может быть шпионом. Значит, его показание ложно, поэтому B лжец. Показание C также ложно, а поскольку C не лжец (ибо лжец B), то он шпион".

Таким образом, если бы на вопрос судьи C ответил "да", то он был бы изобличен как шпион. Зная это, C благоразумно ответил "нет", лишив тем самым суд возможности установить, шпион он или коренной житель. (Суду удалось лишь установить, что либо C рыцарь, а B шпион, либо C лжец, а A шпион, либо C шпион.)

46. Кто Мердок? Так как A утверждает, что он шпион, то A либо лжец, либо шпион. Аналогичным образом, так как C утверждает, что он шпион, C либо лжец, либо шпион.

Следовательно, из двух подсудимых A и C один лжец, а другой шпион. Значит, B рыцарь и дал на суде правдивые показания:

A шпион.

47. Возвращение Мердока. Если A Мердок, то все три показания истинны, что невозможно, так как один из троих подсудимых лжец. Если C Мердок, то все три показания ложны, что также невозможно, так как один из троих подсудимых рыцарь. Следовательно, Мердоком должен быть B.

48. Более интересный случай. Задачу невозможно было бы решить, если бы в условиях не было ссылки на то, что суд изобличил шпиона, после того как на него указал C: ведь мы знаем, что суд смог установить, кто из троих шпион, и это весьма важная "зацепка"!

Предположим, что C обвинил A в том, что тот шпион.

Располагая этими данными, судья не мог бы решить, кто шпион, поскольку они позволяют лишь утверждать, что либо A шпион, B лжец и C рыцарь либо B шпион, A рыцарь и C лжец, либо C шпион, A лжец и B рыцарь.

Таким образом, если C указал на A как на шпиона, то судья не мог бы изобличить настоящего шпиона.

Посмотрим теперь, что произошло бы, если бы C указал на B.

Тогда B обвиняли бы в том, что он шпион, двое: A и C.

Выдвинутые A и C обвинения либо оба истинны, либо оба ложны. Если бы они были оба истинны, то B действительно был бы шпионом, а так как A и C оба сказали правду, они оба должны были бы быть рыцарями ("вакансия" шпиона занята B). Но по условиям задачи среди подсудимых A, B и C не может быть двух рыцарей. Следовательно, предъявленные B обвинения в шпионаже ложны. Значит, B не шпион. Мог бы A быть шпионом? Нет, так как если бы A был шпионом, то взаимные обвинения B и C в шпионаже были бы ложны.

Следовательно, B и C были бы (оба) лжецами (что противоречит условиям задачи.) Остается единственно возможный случай: шпион C (B, обвинивший C в шпионаже, рыцарь, а A, обвинивший B, лжец).

Итак, если C указал на A как на шпиона, то судья не смог бы установить, кто из троих в действительности шпион. Но если C указал на B, то судья смог бы решить что шпион C. А так как судья знал, на кого показал A, то C должен был указать на B, и судья на основании полученных данных изобличил C в шпионаже.

49. Еще более интересный случай. Мы не знаем, что ответили A и B, поэтому нам необходимо рассмотреть четыре возможных случая: 1) A и B оба сказали "да":

2) A сказал "нет", B сказал "да"; 3) A сказал "да", B сказал "нет"; 4) A и B оба сказали "нет".

Все эти четыре случая встретятся нам и в следующих двух задачах, поэтому мы тщательно проанализируем их сейчас.

Случай 1: A и B оба сказали "да". Так как A утверждает, что он шпион, то A либо лжец, либо шпион (рыцарь не станет называть себя шпионом). Если A лжец, то он солгал и в том случае, когда утверждал., что занимается шпионажем. Следовательно, B солгал, утверждая, что A сказал правду. Значит, B не рыцарь, а поскольку A лжец, то B шпион, и, наконец, C должен быть рыцарем. Таким образом, если A лжец, то B шпион, а C рыцарь.

Предположим теперь, что A шпион. Тогда он сказал правду, поэтому B, утверждая, что A сказал правду, не погрешил против истины. Следовательно, B должен быть рыцарем. Но тогда C может быть только рыцарем. Таким образом, если A лжец, то B шпион, а C рыцарь. Запишем оба возможных варианта (1а и 1б)

случая 1 в следующем виде:

A B C 1а Рыцарь Шпион Рыцарь 1б Шпион Рыцарь Лжец

Случай 2: A сказал "нет", B сказал "да". Так как A отрицает, что он шпион, то A либо рыцарь, либо шпион (лжец солгал бы и сказал бы о себе, что он шпион). Если A рыцарь, то он сказал правду. Значит, B также сказал правду, когда заявил, что A сказал правду, поэтому B не может быть лжецом.

Следовательно, B должен быть шпионом. Но тогда C может быть только лжецом.

Если A шпион, то он солгал. Следовательно, B также солгал, когда утверждал, что A сказал правду. Значит, B лжец, и тогда C может быть только рыцарем. Оба возможных варианта случая 2 (2а и 2б) запишем в следующем виде:

A B C 2а Рыцарь Шпион Лжец 2б Шпион Лжец Рыцарь

Случай 3: A сказал "да", B сказал "нет". Так как A утверждает о себе, что он шпион, то (как и в случае 1) A должен быть лжецом или шпионом. Если A лжец, то он солгал, но тогда B сказал правду. Значит, либо B рыцарь (и C шпион), либо B шпион (и C рыцарь). Если A шпион, то он сказал правду, но тогда B солгал. Значит, B лжец и C рыцарь. Таким образом, в случае 3 возможны три варианта:

A B C 3а Лжец Рыцарь Шпион 3б Лжец Шпион Рыцарь 3в Шпион Лжец Рыцарь

Случай 4: A и B оба сказали "нет". Так как A отрицает, что он шпион, то (как в случае 2) A либо рыцарь, либо шпион. Предположим, что A рыцарь. Тогда A сказал правду, а B солгал. Следовательно, B лжец (а C шпион) или B шпион (а C лжец). Предположим, что A шпион. Тогда он сказал правду. Значит, B также сказал правду, поэтому B рыцарь (а C лжец). Таким образом, в случае 4 возможны три варианта (как и в случае 3):

A B C 4а Рыцарь Лжец Шпион 4б Рыцарь Шпион Лжец 4в Шпион Рыцарь Лжец

Для удобства сведем все четыре случая в одну таблицу.

Случай 1: A и B оба сказали "да"

A B C 1а Лжец Шпион Рыцарь 1б Шпион Рыцарь Лжец

Случай 2: A сказал "нет", B сказал "да"

A B C 2а Рыцарь Шпион Лжец 2б Шпион Лжец Рыцарь

Случай 3: A сказал "да", B сказал "нет"

A B C 3а Лжец Рыцарь Шпион 3б Лжец Шпион Рыцарь 3в Шпион Лжец Рыцарь

Случай 4: A и B оба сказали "нет"

A B C 4а Рыцарь Лжец Шпион 4б Рыцарь Шпион Лжец 4в Шпион Рыцарь Лжец

Обратимся снова к условиям задачи. После того как A и B ответили на вопросы судьи, тот сумел установить, что C не шпион. В случае 3 судья не мог бы установить, шпион ли C или рыцарь. В случае 4 судья не смог бы установить, шпион ли C или лжец. Но судья со всей определенностью заявил, что C не шпион. Значит, случаи 3 и 4 отпадают и остается либо случай 1, либо случай 2.

Когда судья утверждает, что C не шпион, ему известно, что A сказал правду. Тем самым судье известно, что A либо рыцарь, либо шпион. В случае 2 судья не смог бы определить, рыцарь ли A или шпион, и установить, кто шпион. Таким образом, остается только случай 1: судья знал, что A не мог быть лжецом (так как A сказал правду). Следовательно, A должен был быть шпионом.