Турчин Фёдорович - Феномен науки. Кибернетический подход к эволюции

Высказывание ¬ A (читается «не A ») означает, что высказывание A ложно. Иначе говоря, ¬ A истинно тогда, когда A ложно, и ложно тогда, когда A истинно.

Высказывание A ∧ B (читается « A и B ») означает утверждение, что верно и A , и B . Оно верно только в том случае, если верны оба высказывания A и B .

Высказывание A ∨ B (« A или B ») верно, если верно хотя бы одно из высказываний A и B .

Высказывание A ⊃ B читается « A влечет B » или «если A , то B ». Оно неверно, если A истинно, B ложно, и верно во всех остальных случаях.

Наконец, высказывание A ≡ B верно в том случае, если высказывания A и B либо оба истинны, либо оба ложны.

Для обозначения структуры связей пользуются скобками подобно тому, как это делается в алгебре для обозначения порядка выполнения арифметических действий. Так, например, высказывание ¬ A ∧ B означает « A неверно, а B верно», а высказывание ¬( A ∧ B ) — «неверно, что A и B оба верны». И так же, как в алгебре, для уменьшения числа скобок устанавливается порядок старшинства связок по силе связи. Выше мы перечислили связки в порядке ослабления связи. Например, конъюнкция связывает сильнее, чем импликация, поэтому высказывание A ⊃ B ∧ C понимается как A ⊃ ( B ∧ C ), но не как ( A ⊃ B ) ∧ C . Это соответствует тому, что в алгебре a + b × c означает a + ( b × c ), но не ( a + b ) × c .

Приведем несколько примеров составных высказываний.

Известная скороговорка утверждает: «цапля чахла, цапля сохла, цапля сдохла». Это высказывание можно записать в виде: «цапля чахла» ∧ «цапля сохла» ∧ «цапля сдохла».

Соотношение 0 < Z < 1 есть конъюнкция « Z > 0» ∧ « Z < 1», a соотношение | Z | > 1 — дизъюнкция « Z > 1» ∨ « Z < -1». Определение логической связки ≡ данное выше, можно записать так:

[( A ≡ B ) ⊃ ( A ∧ B ) ∨ (¬ A ∧ ¬ B )] ∧ [( A ∧ B ) ∨ (¬ A ∧ ¬ B ) ⊃ ( A ≡ B )]

Предоставляем читателю перевести на обычный язык следующее высказывание:

«Свет включен» ∧ «Лампочка не горит» ⊃ «Нет электричества» ∨ «Перегорели пробки» ∨ «Перегорела лампочка».

Если считать, что высказывания могут быть только истинными или ложными и, сверх этого, о высказывании ничего сказать нельзя, то перечисленных связок достаточно, чтобы выразить все мыслимые конструкции из высказываний. Достаточно даже двух связок, например отрицания и конъюнкции или отрицания и дизъюнкции. Такая ситуация имеет место, в частности, в отношении утверждений математики. Поэтому в математической логике других связок не используется.

Однако естественный язык отражает большее разнообразие в оценке высказываний, чем просто деление их на истинные и ложные. Например, высказывание можно рассматривать как бессмысленное или как недостоверное, хотя и возможное («в этом лесу, наверное, есть волки»). Этим вопросам посвящены специальные разделы логики, в которых находятся другие связки. Большого значения для современной науки эти разделы (в отличие от классической математической логики) не имеют, и мы их касаться не будем.

Конструкция, сопоставляющая нескольким объектам высказывание, называется предикатом. Предикаты делятся на одноместные, двухместные, трехместные и т.д. в соответствии с числом объектов, которого они требуют. Для записи их используют функциональные обозначения. Предикат можно записать в виде функции с незаполненными местами для аргументов, например

P ( ), L ( , ), I ( , , )

или же в виде

P (x), L ( z , y ), I ( x , y , z )

оговорив, что x , y , z — предметные переменные, т. е. символы, которые в конечном счете должны быть заменены на объекты, но какие — пока неизвестно. Впрочем, вторая форма изображает, строго говоря, уже не предикат, а высказывание, содержащее предметные переменные. Вместо больших букв мы будем также использовать словосочетания в кавычках, например,

«красный»( x ), «между»( x , у , z)

и специальные математические знаки, например,

<( х , у ).

Одноместный предикат выражает свойство объекта, предикат более чем с одним аргументом — отношение между объектами. Если места для аргументов в предикате заполнены, то мы имеем дело с высказыванием, утверждающим наличие данного свойства или отношения. Высказывание

«красный»(«мяч»)

означает, что «мяч» обладает свойством «красный». Конструкция

<( a , b )

равнозначна соотношению (неравенству) a < b .

Соединяя предикатные конструкции логическими связками, мы получаем более сложные высказывания. Например, соотношение | z | > 1, которое мы раньше записывали, не расчленяя высказываний на элементы, мы запишем теперь в виде

>( z , 1) ∨ <( z , -1).

В математике большую роль играют утверждения о всеобщности данного свойства и о существовании хотя бы одного объекта, обладающего данным свойством. Для записи этих утверждений вводятся так называемые кванторы: квантор всеобщности ∀ и квантор существования ∃. Допустим, что некоторое высказывание S содержит переменную (неопределенный объект) х , поэтому будем записывать его в виде S ( x ). Тогда высказывание

(∀ x ) S ( x )

означает, что для всех х имеет место S ( x ), а высказывание

(∃ x ) S ( x )

состоит в утверждении, что существует хотя бы один объект х такой, что для него верно высказывание S ( x ).

Переменная, входящая в высказывание под знаком квантора, называется связанной переменной, ибо высказывание от этой переменной не зависит, подобно тому как сумма

i = n ∑ m S i

не зависит от индекса i . Связанную переменную можно заменить любой другой буквой, не совпадаюшей с остальными переменными, и от этого смысл высказывания не изменится. Переменная, которая не является связанной, называется свободной . Высказывание зависит только от свободных переменных, которые оно содержит.

Примеры высказываний с кванторами:

(∀ х )(∀ у )(«брат»( х , у ) ∧ «мужчина»( у )) ⊃ «брат»( у , x ).

Для всякого х и всякого у , если х — брат у и у — мужчина, то у — брат x .Если через D ( x , y ) обозначить высказывание « x является делителем у », то одно из соотношений, приведенных выше в качестве примера высказываний, изобразится в виде