Турчин Фёдорович - Феномен науки. Кибернетический подход к эволюции

В этой обстановке и сказал свое слово один из величайших мыслителей, когда-либо живших на земле, Ренэ Декарт (1596–1650).

Роль Декарта как философа общепризнанна. Но, говоря о Декарте как о математике, обычно указывают, что он «усовершенствовал алгебраические обозначения и создал аналитическую геометрию». Иногда к этому добавляют, что примерно в то же самое время основные положения аналитической геометрии были выдвинуты независимо от Декарта его соотечественником Пьером Ферма (1601–1665), а что касается алгебраической символики, то ее уже вовсю использовал Виет. Выходит, что в области математики Декарту особенно похвастаться нечем, и, действительно, далеко не все авторы, пишущие об истории математики, отдают ему должное. Между тем Декарт произвел революцию в математике, он создал нечто несравненно большее, чем аналитическая геометрия (понимаемая как теория кривых на плоскости), а именно: новый подход к описанию явлений действительности — современный математический язык.

Иногда говорят, что Декарт «свел геометрию к алгебре», понимая под алгеброй, конечно, алгебру числовую, арифметическую. Это грубая ошибка. Верно, что Декарт преодолел пропасть между величиной и числом, между геометрией и арифметикой, но достиг он этого не сведением одного языка к другому, а созданием нового языка — языка алгебры. По синтаксису новый язык совпадает с арифметической алгеброй, но по семантике — с геометрической. Символы в языке Декарта обозначают не числа и не величины, а отношения величин. В этом — вся суть переворота, произведенного Декартом.

Современный читатель, пожалуй, недоуменно пожмет плечами: какая разница? Неужели этот логический нюанс мог иметь серьезное значение? Оказывается, мог. Именно этот нюанс помешал грекам сделать следующий шаг в своей математике.

Мы настолько привыкли ставить иррациональные числа на одну доску с рациональными, что перестали отдавать себе отчет в том, какое глубокое различие лежит между ними. Мы пишем √2 точно так же, как пишем 4/ 5, и называем √2 числом, а когда нужно, заменяем на приближенное значение, и мы никак не можем понять, почему древние греки так болезненно реагировали на несоизмеримость отрезков. Но если немного подумать, то нельзя не согласиться с греками, что √2 — это не число. Его можно представить как бесконечный процесс, порождающий последовательные знаки разложения в десятичную дробь. Можно представить его также в виде сечения в области рациональных чисел, т. е. как некое правило, которое делит все рациональные числа на два класса: те, которые меньше √2 и которые больше √2. В данном случае правило весьма простое: рациональное число a относится к первому классу, если a 2< 2 и ко второму — в противном случае. Можно, наконец, представить √2 в виде отношения между двумя отрезками; в данном случае — между диагональю квадрата и его стороной. Эти представления эквивалентны между собой, но никак не эквивалентны представлению о целом или дробном числе.

Значит ли это, что мы совершаем ошибку или нестрогость, обращаясь с корнем из двух как с числом? Отнюдь нет. Цель математики — создание языковых моделей действительности, и хороши все средства, ведущие к этой цели. Почему бы нашему языку наряду со знаками типа 4/ 5не содержать и знаки типа √2? «Мой язык — что хочу, то и делаю». Важно только, чтобы мы умели интерпретировать эти знаки и совершать над ними языковые преобразования. Но интерпретировать √2 мы умеем. В практических вычислениях основой интерпретации может служить первое из приведенных выше представлений, в геометрической теории — третье. Умеем мы и производить выкладки с ними.

Теперь осталось только уточнить терминологию. Условимся то, что мы раньше называли числами, называть рациональными числами, новые объекты называть иррациональными числами, а просто числами ( действительными числами по современной математической терминологии) называть и те и другие.

Итак, в конечном счете никакой принципиальной разницы между √2 и 4/ 5нет и мы оказались мудрее греков. Эту мудрость протаскивали контрабандой все те, кто оперировал со знаком √2 как с числом, признавая вместе с тем, что оно «иррационально». Обосновал и узаконил эту мудрость Декарт.

Тот факт, что греки не создали алгебры, имеет глубокие корни и в философии. У них не было даже арифметической алгебры — это первое и наиболее внешнее, можно даже сказать побочное, следствие их философии. Их мало интересовали арифметические уравнения, ведь уже уравнения второй степени не имеют, вообще говоря, точных числовых решений. А приближенные вычисления и все, что было связано с практическими задачами, их не интересовало. Зато решение могло быть найдено путем геометрического построения! Но, если даже предположить, что греческие математики школы Платона познакомились бы с арифметической буквенной символикой, трудно представить, чтобы они воспроизвели научный подвиг Декарта. Ведь отношение не было для них идеей и не имело, следовательно, реального существования. Кому же придет в голову обозначать буквой то, чего нет? Платоновская идея — это обобщенный образ, форма, свойство: то, что можно представить в воображении как более или менее обобщенный предмет. Все это является первичным и имеет независимое существование, причем существование даже более реальное, чем чувственно воспринимаемые вещи. А что такое отношение отрезков? Попробуйте его представить, и вы сразу увидите, что представляете себе никакое не отношение, а просто два отрезка. Понятие отношения величин отражает процесс измерения одной из них с помощью другой. Но процесс — это не идея в платоновском понимании, это нечто вторичное и не существующее реально: идеи вечны и неизменны и хотя бы уже поэтому не имеют ничего общего с процессами.

Интересно, что понятие отношения величин, отражающее свойства процесса измерения, было в строгой математической форме введено еще Евдоксом и вошло в пятую книгу «Начал» Евклида. Именно это понятие и было использовано Декартом. Однако объектом отношение не было ни у Евдокса, ни у последующих греческих математиков; будучи едва введено, оно немедленно уступило место пропорции, которую легко представить как свойство четырех отрезков, образуемых при пересечении сторон угла двумя параллельными линиями.

Понятие отношения величин — это языковый конструкт, и довольно сложный, а платонизм мешал вводить а математику конструкты, ограничивал ее базисные понятия четко представимыми статическими пространственными образами. В школе Платона даже дроби считались чем-то незаконным с точки зрения настоящей математики. В «Государстве» мы читаем: «Если ты захочешь делить единицу, то ученые математики высмеют тебя и не позволят это сделать; если же ты размениваешь единицу на мелкие деньги, они полагают её обращенной во множество и остерегаются рассматривать единицу не как единое, но состоящее из многих частей». При таком отношении к рациональному числу, что уж говорить об иррациональном!