Джесс Либерти - Освой самостоятельно С++ за 21 день.

Отличие между идеей и символом становится яснее, если осознавать, что для представления одного и того же понятия могут использоваться совершенно разные символы: три, 3, | | |, III или ***.

В десятичной системе счисления для представления чисел используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Как же представляется число десять?

Здесь возможны разные варианты. Можно было бы для представления этого понятия использовать букву А или "сороконожку" IIIIIIIIII, Римляне использовали символ X. В арабской системе (которой придерживаемся и мы) для представления числовых значений играет роль комбинация базовых десяти цифр. Первая (самая крайняя) позиция, или порядок, используется для единиц, а расположенная слева от нее — для десятков. Следовательно, число пятнадцать представляется как 15 (читается как "один, пять" ), т.е. 1 десяток и 5 единиц.

Итак, вырисовываются некоторые правила, позволяющие сделать ряд обобщений.

1. Для представления чисел по основанию 10 используются цифры 0-9.

2. Порядок представляет собой степень числа десять: единицы (1), десятки (10), сотни (100) и т.д.

3. Поскольку третья позиция в числе представляет сотни, то самым большим двузначным числом может быть 99. В общем случае, используя n позиций, можно представить числа от 0 до (Юп-1). Следовательно, с помощью трех позиций можно представить числа от 0 до (103-1), или 0-999.

Отнюдь не случайно мы используем основание 10 — вспомните, ведь у нас на руках 10 пальцев. Однако вполне можно представить арифметику с использованием другого основания. Применяя правила, сформулированные для основания 10, можно описать представление чисел в системе счисления с основанием 8.

010201025301020100

1. Для представления чисел по основанию 8 используются цифры 0-7.

2. Позиции разных порядков представляют собой степени числа восемь: единицы (1), восьмерки (8), 64-ки и т.д.

3. Используя n позиций, можно представить числа от 0 до (8n-1).

Чтобы различать числа, написанные с использованием разных оснований, это основание записывают рядом с числом как нижний индекс. Тогда число пятнадцать по основанию 10 следует записать как 15(10) и читать как "один, пять по основанию десять".

Таким образом, для представления числа 15(10) по основанию 8 следует записать 17(8). Это читается как "один, семь по основанию восемь". Обратите внимание, что это число также можно прочитать как "пятнадцать", поскольку именно его мы и имеем в виду, просто используем другое обозначение.

Откуда взялось число 17? Цифра 1 означает одну восьмерку, а цифра 7 означает 7 единиц. Одна восьмерка плюс семь единиц равно пятнадцати. Рассмотрим пятнадцать

звездочек: ***** *****

*****

Наше естественное желание — создать две группы: одна содержит десять звездочек, а другая — пять. В десятичной системе эта "композиция" представляется числом

15 (1 десяток и 5 единиц). Но те же звездочки можно сгруппировать и по-другому:

**** *******

****

т.е. имеем две группы: с восемью и семью звездочками. Такое распределение звездочек может служить иллюстрацией представления числа 17(8) с использованием основания восемь (одна восьмерка и семь единиц),

Число пятнадцать по основанию десять представляется как 15, по основанию девять — как 16(9), no основанию восемь — как 17(8), а по основанию семь — как 21(7). В системе счисления по основанию 7 нет цифры 8, поэтому для представления числа пятнадцать нужно использовать две семерки и одну единицу.

Как же прийти к какому-нибудь общему принципу? Чтобы преобразовать десятичное число в число с основанием 7, вспомните о значении каждой порядковой позиции. В семеричной системе счисления переход к следующему порядку будет происходить на значениях, соответствующих десятичным числам: единица, семь, сорок девять, триста сорок три и т.д. Откуда взялись эти числа? Так ведь это же степени числа семь: 7^0, 7^0, 7^2, 7^3 и т.д. Построим следующую таблицу:

4 3 2 1

7^3 7^2 7^1 7^0

343 49 7 1

В первой строке представлен порядок числа. Во второй — степень числа семь, а в третьей — десятичное представление соответствующей степени числа семь.

Чтобы получить представление некоторого десятичного числа в системе счисления с основанием 7, выполните следующую процедуру. Проанализируйте, к числам какого порядка может относиться это значение. Возьмем, к примеру, число 200. Вы уже

знаете, что числа четвертого порядка в семеричной системе счисления начинаются с 343, а потому это может быть только число третьего порядка.

Чтобы узнать, сколько раз число 49 (граничное значение третьего порядка) "поместится" в нашем числе, разделите его на 49. В ответе получается число 4, поэтому поставьте 4 в третью позицию и рассмотрите остаток, который в данном случае тоже равен 4. Поскольку в этом остатке не укладывается ни одной целой семерки, то во второй разряд (второй порядок) помещаем цифру 0. Нетрудно догадаться, что в остатке 4 содержится 4 единицы, поэтому и ставим цифру 4 в первую позицию (порядок единиц). В итоге получаем число 404(7).

Для преобразования числа 968 в систему счисления по основанию 6 используем следующую таблицу:

5 4 3 2 1

6^4 6^3 6^2 6^1 6^0

1296 216 36 6 1

В числе 968 число 1296 (граничное значение пятого порядка) не умещается ни разу, поэтому мы имеем дело с числом четвертого порядка. При делении числа 968 на число 216 (граничное значение четвертого порядка) получается число 4 с остатком, равным 104. В четвертую позицию ставим цифру 4. Делим остаток 104 на число 36 (граничное значение третьего порядка). Получаем в результате деления число 2 и остаток 32. Поэтому третья позиция будет содержать цифру 2. При делении остатка 32 на число 6 (граничное значение второго порядка) получаем 5 и остаток 2. Итак, в ответе имеем число 4252(6), что наглядно показано в следующей таблице:

5 4 3 2 1

6^4 6^3 6^2 6^1 6^0

1296 216 36 6 1

0 4 2 5 2

Для обратного преобразования, т.е. из системы счисления с недесятичным основанием (например, с основанием 6) в десятичную систему, достаточно умножить каждую цифру числа на граничное значение соответствующего порядка, а затем сложить полученные произведения:

4 * 216 864

2 * 36 = 72

5 * 6 = 30

2 * 1 = 2

sum = 968

Минимальным допустимым основанием является 2. В этом случае используются только две цифры: 0 и 1. Вот как выглядят порядки двоичного числа:

Порядок 8 7 6 5 4 3 2 1

Степень 2^7 2^6 2^5 2^4 2^3 2^2 2^1 2^0

Значение 128 64 32 16 8 4 2 1

Для преобразования числа 88 в двоичное число (с основанием 2) выполните описанную выше процедуру. В числе 88 число 128 не укладывается ни разу, поэтому в восьмой позиции ставим 0.

В числе 88 число 64 укладывается только один раз, поэтому в седьмую позицию ставим 1, а остаток равен 24. В числе 24 число 32 не укладывается ни разу, поэтому шестая позиция содержит 0.