Мартин Гарднер - Математические головоломки и развлечения

Самый маленький «прочный» прямоугольник, который можно сложить из домино, имеет размер 5x6. Два принципиально различных решения изображены на рис. 248.

Рис. 248 Ответы к задаче о «прочных» прямоугольниках.

Нетрудно показать, что минимальная ширина «прочного» прямоугольника должна быть больше четырех. (Случаи, когда ширина прямоугольника равна 2, 3 и 4, лучше всего рассматривать по отдельности.) Поскольку квадрат размером 5x5 состоит из нечетного числа квадратов, а площадь области, построенной из домино, всегда четна, то минимальные размеры прямоугольника равны 5x6.

Прямоугольник 5x6 можно увеличить до размеров шахматной доски (8х8), и он все-таки будет «прочным». Пример такого построения изображен на рис. 249.

Рис. 249 Прочный прямоугольник на шахматной доске размером 8x8 клеток.

Как это ни удивительно, но не существует «прочных» прямоугольников размером 6x6. Этот факт имеет замечательное доказательство.

Представьте себе, что прямоугольник 6x6 целиком покрыт домино. Для этого нужно 18 костей домино (половина площади), а чтобы разделить прямоугольник на клетки, понадобится 10 линий (пять вертикальных и пять горизонтальных). Прямоугольник будет «прочным», если прямая из образующих сетку пересекает по крайней мере одно домино.

Приступая к доказательству, прежде всего покажем, что в любом «прочном» прямоугольнике каждая прямая сетки границ пересекает четное число элементов домино. Рассмотрим любую вертикальную прямую сетки. Площадь слева от нее четна (то есть выражается четным числом единичных квадратов): 6, 12, 18, 24 или 30. Те домино, которые целиком находятся слева от этой прямой, должны занимать четную площадь, поскольку каждый элемент домино покрывает два квадрата. Домино, которые разрезаются этой прямой, тоже занимают слева от нее четную площадь, потому что эта площадь равна разности двух четных чисел (всей площади слева от прямой и площади неразрезанных домино, тоже находящихся слева). Но поскольку разрезанное домино занимает всего один квадрат слева от выбранной прямой, то число элементов домино, разрезаемых прямой, должно быть четным. Сетка в квадрате 6x6 состоит из девяти прямых. Чтобы прямоугольник был «прочным», каждая прямая должна пересекать по крайней мере два домино.

Ни одно домино нельзя пересечь более чем одной линией сетки, поэтому сетка разрезает по крайней мере 12 домино. А в квадрате 6x6 всего лишь 18 домино!

Аналогичным образом можно показать, что прямоугольник 6x8 будет «прочным» только в том случае, если каждый отрезок сетки границ пересекает ровно два домино. Такой прямоугольник изображен на рис. 250.

Рис. 250 Прочный прямоугольник 6x8.

В самом общем виде результат можно сформулировать так: из домино можно сложить «прочный» прямоугольник, если его площадь четна, а длина и ширина больше четырех; исключение составляет квадрат 6х6. В действительности, чтобы сложить прямоугольник большего размера, нужно применить к прямоугольникам 5х6 и 6х8 метод увеличения длины или ширины на две единицы.

Проще всего объяснить, как это делается, с помощью рис. 251.

Рис. 251 Общее решение задачи о построении «прочного» прямоугольника.

Для удлинения фигуры в горизонтальном направлении на две единицы надо положить по одному домино рядом с каждым домино, лежащим горизонтально, а все вертикальные домино надо выдвинуть до новых границ, заложив освободившееся место горизонтальными домино.

Может быть, для читателя окажется интересным рассмотреть в качестве кирпичей элементы тримино. В частности, возникает вопрос: каковы наименьшие размеры «прочного» прямоугольника, который можно сложить из двух или большего числа «прямых тримино» (то есть прямоугольников размером 1x3)?

Составил Ю. А. Данилов

Аменицкий Н. Н. Любопытные путешествия. — сер. «Научно-забавная библиотека для семьи и школы», вып. 2. —М.: 1912.

Аменицкий Н. Н. Игра «Nim». — сер. «Научно-забавная библиотека для семьи и школы», вып. 6. — М.: 1912.

Аменицкий Н. Н. Игра «15» (Taquin), «Солитер» (играв «пустынника»): сер. «Научно-забавная библиотека для семьи и школы», вып. 7.— М.: 1912.

Аменицкий Н. Н. Ход коня: сер. «Научно-забавная библиотека для семьи и школы», вып. 8. — М.: 1912.

Аменицкий Н. Н. Арифметические развлечения: сер. «Научно-забавная библиотека для семьи и школы», вып. 17. — М.: 1912.

Аменицкий Н. Н., В. А. Г. Магические квадраты: Арифметические курьезы: сер. «Научно-забавная библиотека для семьи и школы», вып. 5. —М.: 1912.

Аменицкий Н. Н., Сахаров И. П. Забавная арифметика: Хрестоматия для развития сообразительности детей в семье и школе, 4-е изд., доп. /вып. 1. Младший возраст; вып. 2. Средний возраст; вып. 3. Старший возраст. — М.: Товарищество И. Д. Сытина, 1912.

Аменицкий Н. Н., Шиман Е. М., Шукайло К. П. Морские узлы и фокусы с веревками: Что можно сделать из листа бумаги: сер. «Научно-забавная библиотека для семьи и школы», вып. 3. — М.: 1912.

Аменицкий Н. Н., Шиман Е. М., Шукайло К. П. Что можно сделать из листа бумаги (продолжение): сер. «Научно-забавная библиотека для семьи и школы», вып. 4. — М.: 1912.

Анаксиотис. Теорема Фермата. — Киев: 1911.

Арене В. Математические игры и развлечения. — М. —Л.: изд. «Петроград», 1924.

Арифметические игры: сер. «Научно-забавная библиотека для семьи и школы», вып. 1. — М.: 1912.

Архангельский А. Г., Озорной М. Занимательный досуг: Фокусы.

Загадки. Игры со спичками. Шарады. Ребусы. Головоломки. Задачи. Игры. — М.: «Крестьянская газета», 1927.

Баше К. Г. Игры и задачи, основанные на математике. — Спб. — М.: 1877.

Белополъский И. Р. Фокусы и головоломки. — Л.: Гизместпром НКМП РСФСР, 1939.

Бобров СП. Архимедово лето, или История содружества юных математиков. — М.: Детгиз, 1959 (кн. 1), 1962 (кн. 2).

Бобров С.П. Волшебный двурог, или Правдивая история небывалых приключений нашего отважного друга Ильи Александровича Камова в неведомой стране, где правят: Догадка, Усидчивость, Находчивость, Терпение, Остроумие и Трудолюбие и которая в то же время есть пресветлое царство веселого, но совершенно таинственного существа, чье имя очень похоже на название этой удивительной книжки, которую надлежит читать не торопясь: Книга для юных читателей, которые любят точные науки и математику: изд. 2-е, перераб. и доп. — М.: Детская литература, 1967.