Мартин Гарднер - Математические головоломки и развлечения

Один из наиболее простых способов построить таблицу сложения с помощью квадратной матрицы заключается в следующем. Впишем в левый верхний угол 1 и будем продолжать нумерацию клеток слева направо последовательными целыми положительными числами. Заполненную матрицу 4x4 можно рассматривать как таблицу сложения для двух наборов чисел: 1, 2, 3, 4 и 0, 4, 8, 12 (рис. 10).

Рис. 10

Сумма чисел, оказавшихся под монетками, в такой матрице всегда будет равна 34.

Получающаяся сумма, разумеется, зависит от размеров квадрата. Если число клеток, умещающихся вдоль стороны квадрата, обозначить через n , то сумма будет равна —

Квадраты с нечетным n дают сумму, равную произведению n и числа, стоящего в центральной клетке. Если нумерацию клеток начать с числа а , большего 1, и продолжать по порядку, то сумма окажется равной

Интересно заметить, что точно такой же будет сумма чисел в любом столбце и в любой строке традиционного магического квадрата, составленного из тех же числовых элементов.

С помощью второй формулы легко найти, каким должно быть число в левом верхнем углу матрицы любых размеров, чтобы она давала наперед заданную сумму. Огромное впечатление производит следующий фокус, который можно показать экспромтом.

Попросив кого-нибудь назвать любое число, большее 30 (это позволит избежать отрицательных чисел), вы тут же чертите матрицу 4x4, которая будет давать сумму, равную только что указанному числу!

(Для быстроты, вместо того чтобы закрывать числа монетками, можно обводить их кружками, а строки и столбцы, на пересечении которых стоят выбранные числа, вычеркивать.)

Чтобы продемонстрировать этот фокус, вам придется проделать единственную выкладку (ее нетрудно произвести в уме): вычесть 30 из названного числа, а разность разделить на 4. Пусть, например, названо число 43. Вычитая 30, вы получаете 13. Разделив его на 4, находите число 3 1/4. Вписав 3 1/4в левый верхний угол матрицы 4 х 4 и продолжив далее по порядку 4 1/4, 5 1/4и т. д., вы получите магический квадрат с суммой, равной 43.

Чтобы еще больше запутать зрителя, числа в квадрате следует переставить. Например, первое число 3 1/4можно вписать в клетку, стоящую в третьей строке (рис. 11),

Рис. 11

а три следующих числа 4 1/4, 5 1/4и 6 1/4) расположить в той же строке, но в произвольном порядке.

Следующие четыре числа можно расположить в любой строке, но в том же порядке, в каком вы вписывали первые четыре числа. То же самое нужно проделать и с двумя оставшимися четверками чисел. В результате вы получите что-нибудь вроде квадрата, изображенного на рис. 12.

Рис. 12

Если вы не желаете иметь дело с дробными числами, но прежнему хотите получить сумму, равную 43, то дробь 1/4 у всех чисел можно отбросить, а к числам, стоящим в верхней строке, прибавить по единице (в результате чего в верхней строке окажутся числа 16, 17, 18 и 19). Точно так же, если бы дробная часть первого числа была равна 2/4, к числам, стоящим в верхней строке, нужно было бы прибавлять 2, а если бы дробная часть оказалась равной 3/4, -то 3.

Перестановка строк и столбцов не меняет магических свойств квадрата, но делает матрицу более загадочной, чем она есть на самом деле.

Фокус можно показывать и с таблицей умножения. В этом случае выбранные числа нужно не складывать, а умножать. Полученное произведение всегда равно произведению чисел, с помощью которых построена таблица.

Мне не удалось выяснить, кому первому пришла в голову мысль использовать эти забавные свойства таблиц сложения и умножения для фокуса. Основанный на этом принципе фокус с нумерованными картами описан в книге Мориса Крайчика. [7] Kraitchik M. Mathematical Recreations. — 1942, p. 184. Начиная с 1942 года было предложено несколько вариаций на ту же тему. Так, М. Стоувер заметил, что если на странице календаря обвести квадрат из 16 клеток, то получится таблица сложения, дающая сумму, которая вдвое превышает сумму двух чисел, стоящих на противоположных концах любой диагонали.

Широкие возможности открывает использование игральных карт. Например, можно ли так расположить карты в колоде, чтобы, сняв любую часть колоды и выложив содержащиеся в ней карты в виде квадрата, вы всегда получили одно и то же число? Этот принцип почти не исследован, и здесь предстоит еще открыть много интересного.

Новый вариант магического квадрата разработал С. Джеймс.

Этот вариант позволяет «внушать» аудитории любое слово по вашему желанию. Допустим, вы задумали слово «Джеймс». Взяв 36 карточек с нужными вам буквами, вы раскладываете их в форме квадрата следующим образом:

(карточки повернуты обратной стороной вверх, и буквы зрителям не видны).

Попросив кого-нибудь выбрать одну из карточек, вы откладываете ее в сторону, не переворачивая. Остальные карточки, находившиеся в одном столбце и одной строке с выбранной, вы откладываете в другую сторону (они вам больше не понадобятся). Эта процедура повторяется еще четыре раза, после чего единственную оставшуюся карточку вы добавляете к уже отложенным. Перевернув отобранные карточки лицевой стороной вверх, вы показываете, что из них можно составить слово «Джеймс». Способ отбора гарантирует, что среди отложенных карт не будет лишних.

Один из читателей сообщил нам, что ему удалось найти еще одно неожиданное применение магических квадратов: он рисовал их на поздравительных открытках, которые посылал своим друзьям-математикам в день их рождения. Следуя содержавшейся в открытке инструкции, адресат складывал выбранные им числа и к немалому своему удивлению получал собственный возраст.

1. Путешествие по замкнутому маршруту. Многим читателям, по-видимому, известна старая головоломка: «Путешественник проходит один километр на юг, поворачивает, проходит один километр на восток, еще раз поворачивает, проходит один километр на север и оказывается в том самом месте, откуда вышел. Здесь он ловким выстрелом убивает медведя. Спрашивается, какого цвета шкура убитого медведя?»

Избитый ответ «белого» основан на неявном предположении, что исходной и конечной точкой замкнутого маршрута непременно должен быть Северный полюс. Не так давно было сделано открытие, что Северный полюс — отнюдь не единственная точка, удовлетворяющая всем условиям этой задачи!

Можете ли вы указать еще какую-нибудь точку земного шара, из которой можно было бы пройти один километр на юг, один километр на восток, один километр на север и снова оказаться в самом начале пути?