Борис Горобец - Педагоги шутят тоже... Только строже

— Поднимите руки те, кто хочет получить за экзамен «три».

Поднялось несколько рук.

— Подойдите сюда, — сказал им Ландау и тут же поставил всем «тройки» в зачетки. Когда «счастливцы» покинули аудиторию, он обратился к остальным:

— Теперь поднимите руки те, кто хочет получить «четыре».

Опять несколько человек подняли руки. Ситуация повторилась, и еще одна группа студентов ушла с желанными оценками в зачетках.

— Ну что же, — сказал Ландау, оглядев горстку оставшихся, — вы, стало быть, хотите получить «пять»?

Студенты скромно потупились.

— Ничего не поделаешь, — улыбнулся академик, — давайте ваши зачетки.

И он быстро проставил всем отличные оценки. Весь экзамен занял пять минут.

Эта удивительная история имела забавное продолжение. В начале 1970-х «способ Ландау» приема экзаменов решил возродить на Физтехе молодой доктор наук Н., ныне академик. Начиная экзамен в одной из групп, он точно так же обратился к студентам:

— Поднимите руки желающие получить «три».

— И тут к его ужасу… вся группа подняла руки. В сильном смятении Н. побежал в учебную часть.

— У меня проблема с экзаменом, — взволнованно обратился он к заведующей. — Я не знаю, что делать.

И он пересказал ей ситуацию с экзаменом в своей группе.

— Ну что я могу сказать, — развела руками заведующая, — вы — не Ландау…

История умалчивает о том, поставил ли экзаменатор всем «тройки» или вернулся к обычной системе приема (и опять-таки выставил всем по «три балла»).

(История дана по оригинальному тексту из кн. «Математики тоже шутят»: [Федин, 2010. С. 22])

Математическая игра Ландау

Друзья Льва Давидовича вспоминают, что, путешествуя в автомобиле, он часто предлагал своим спутникам поиграть в номера автомашин. Игру он сам и придумал. В то время в номера автомашин входили две пары цифр. Нужно было так подобрать математические символы, действующие порознь в каждой паре данных цифр, чтобы после их применения левая часть становилась равна правой. Разрешалось вставлять в каждую пару цифр символы только элементарных функций: +, -,, х, √, log, lg, sin, cos, tg, ctg, sec, cosec, а также факториал (!). (Напомним, что факториал — знак произведения последовательности натуральных чисел 1 х 2 х 3……n = n!.

Например, вас обгоняет автомобиль с номером 71–15. Вы тут же сообщаете спутникам: 7√ = 1 5. Это очень легкий пример. А вот номер посложнее: 53–41. Приравнять его можно с помощью факториала: — (5–3!) = √4–1. Еще пример: 75–33; равенство из него: 7–5 = log √33.

Дифференцировать числа, т. е. константы, стоящие в номере, запрещалось. Это было в те годы действием из высшей математики. К тому же такой способ тривиализовать решение тут же подписал бы смертный приговор самой игре.

Навык находить равенство между парами приходит довольно быстро. И возникает неизбежный вопрос: все ли номера можно «решить»? Такой вопрос задал харьковский профессор М. И. Каганов академику Ландау [6] Журнал «Наука и жизнь» опубликовал целую серию статей, посвященных истории этой игры и решениям ее трудных частных случаев и поискам общего решения в №№ 1,4, 10 (2000) и №№ 1,6(2001). . И получил ответ: «Нет, не все». «Вы доказали теорему не существования решения?» — спросил Каганов. «Нет, но не все номера у меня получаются, — ответил Ландау. — Например, номер 75–65». Вот еще несколько пар номеров, на которые указывал как на наиболее трудные, если вообще «разрешимые», сам Ландау: 59–58; 47–73; 47–97; 27–37.

Далее М. И. Каганов рассказывает, что он заинтересовал игрой Ландау своих харьковских коллег. И, наконец, математик Юрий Палант вывел формулу универсального решения задачи. Вот она: √N +1 = sec arctg √N. Суть формулы такова: любое натуральное число можно выразить через число, на единицу меньшее, используя только знаки элементарных функций, не содержащие цифр. Формулу можно применять неоднократно, вплоть до получения равенства. Идея понравилась Ландау, и он даже обсуждал возможность опубликовать ее в научно-популярном журнале. Но вряд ли сам Ландау серьезно занимался теорией и практикой своей игры. Прошло 40 лет, и после первой же широкой публикации с условиями этой игры в журнал «Наука и жизнь» стали приходить письма, предлагавшие самые разнообразные, часто изощренные варианты решений для любых пар номеров.

Учитывая, что секанс это функция «устаревшая», уже лет тридцать, как вышедшая из употребления в средней школе, математик С. Н. Федин так модернизировал указанную формулу Ю. Паланта:

tg arcctg cos arctg √N = √1 + N.

(Для ее вывода необходимо знать, что: 1) tg arctg x = x; 2) 1 / cos 2x = = lg 2x+ 1).

Поиск других общих решений игры Ландау стал самостоятельной математической задачей более высокого уровня сложности, чем решения для определенных частных случаев. Так, автор-составитель нашел следующее общее решение:

sin [(a,b)!]° = sin [(c,d)!]°= 0.

Здесь a, b, с, d — любые натуральные числа от 0 до 9 включительно. Любую пару цифр следует рассматривать как число п из двух разрядов, после которого ставится знак факториала. Далее sin (n!)° = 0, если n > 6, так как sin (6!)°= sin 720°= sin 2-360 0 =0. Дальше любой факториал получается умножением 6! на последующие целые числа: 7! = 6!х7, 8! = 6! х 7 х 8 и т. д., давая кратное число раз по 360° в аргументе синуса, делая его (как, впрочем, и тангенс) равным нулю. В случае, если n ≤ 5 синус не дает нуля слева или справа. Но это ситуация совсем простая. Заинтересовавшиеся читатели легко решат эту задачу самостоятельно (или в крайнем случае посмотрят в журнале «Наука и Жизнь» (2001. № 6) или в книге «Горобец» (2009, С. 105).

Следует отметить, что игра Ландау не только любопытная но и развивающая. Она неизменно встречает повышенный интерес у студентов и абитуриентов. В огромном наборе двух пар цифр можно найти варианты любого уровня сложности, позволяющие преподавателю математики давать примеры, начиная с очень легких и кончая олимпиадным уровнем. Большой набор номеров с решениями повышенной сложности опубликован в журнале «НиЖ» (2001. № 6.), а также в указанной книге, в последней ссылке. И еще одна подсказка. Если у вас нет под рукой случайных чисел, берите две любые пары цифр из телефонных номеров своих знакомых. Не исключено, что кто-то выведет новую формулу универсального решения игры Ландау.

(Цит. по кн: [Горобец, 2009а])

Григорий Самуилович Ландсберг

Об отношении к лекциям

«В день лекции я ничем другим не занимаюсь. Прихожу за час-два до начала, чтобы проверить демонстрационные эксперименты».

Об отношении к лабораторным экспериментам и персоналу

Неоднократно, входя в лабораторию, он делал строгое замечание по поводу беспорядка. Считалось великим преступлением вытирать оптические детали носовым платком или полой халата. Не допускалось грязи в лаборатории при этом говорилось: «Грязь — это все то, что не лежит на своем месте».