Эндрю Ходжес - Игра в имитацию

В 1928 году ни одна из этих проблем не была решена. Однако Гильберт был уверен, ответ на каждый из его вопросов в результате окажется положительным. Ранее в своем докладе на Международном конгрессе в Париже он заявил: «Мы все убеждены в том, что любая математическая задача поддается решению. Это убеждение в разрешимости каждой математической проблемы является для нас большим подспорьем в работе, когда мы приступаем к решению математической проблемы, ибо мы слышим внутри себя постоянный призыв: вот проблема, ищи решение. Ты можешь найти его с помощью чистого мышления, ибо в математике не существует ignorabimus», — и когда в соответствии с уставом университета Гильберт ушел в отставку в 1930 году, он заявил следующее:

Пытаясь привести пример неразрешимой проблемы, философ Конт однажды сказал, что науке никогда не удастся распознать секрет химического состава небесных тел. Спустя несколько лет эта проблема была решена… Истинная причина, из-за которой, по моему мнению, Конт не смог найти неразрешимую проблему, заключается в том, что в действительности такой вещи, как неразрешимая проблема, вообще не существует.

Такой взгляд на науку, казалось, был позитивнее, чем сами позитивисты. Однако, на том самом съезде юный чешский математик Курт Гёдель представил результаты своей работы, наделавшей немало шума.

Гёделю удалось доказать теорему о неполноте арифметики, которая гласила: не каждая определенная математическая проблема доступна строгому решению. Своё исследование он начинал с аксиом Пеано для арифметики целых чисел, а позже расширил его, применив простую теорию типов таким образом, чтобы система представляла множества целых чисел, множества множеств целых чисел и так далее. И всё же его доказательство оставалось применимым к любой формальной математической системе, которая включала в себя теорию чисел, а тонкости аксиоматики не играли решающей роли.

Затем ему удалось доказать, что все операции, производимые в ходе доказательства, то есть правила логической дедукции, применяемые в «шахматной партии», сами по себе являются арифметическими. Из этого следует, что используемые при доказательстве операции вычисления и сравнения с целью выявить, корректно ли одна формула заменена другой, точно так же верность текущего хода в шахматной партии может быть просчитана при помощи вычисления и сравнения возможных позиций шахматных фигур. Фактически Гёделю удалось доказать, что формулы его системы могут быть закодированы в виде целых чисел. Таким образом, целые числа могли представлять собой утверждения о них самих. В этом и заключалась основная идея его работы.

Затем он продолжил своё исследование и показал, как сами доказательства могут быть закодированы в виде целых чисел. Таким образом он получил целую теорию арифметики, закодированную в самой арифметике. Здесь он использовал идею, что, если математика рассматривается лишь как игра знаков, значит в ней могут быть также задействованы и числовые знаки, то есть цифры. Гёделю удалось доказать, что свойство «доказуемости» ровно настолько же арифметическое, как и свойства квадрата или прямоугольника.

В результате такого кодирования стала возможной запись арифметических высказываний, ссылающихся на самих себя, как в случае, когда человек говорит «Я говорю неправду». Более того, Гёделю удалось построить одно особое суждение, которое обладало таким свойством и в сущности заключалось в фразе «Это высказывание нельзя доказать». Из этого следовало, что данное суждение не имело доказательства своей верности, поскольку в таком случае возникло бы противоречие. Однако по той же причине назвать его неверным тоже не представлялось возможности. Подобное высказывание не могло быть доказано или опровергнуто методом логической дедукции из аксиом, таким образом Гёдель доказал неполноту арифметики, которую Гильберт обозначил в одном из своих вопросов.

Тем не менее удивительным свойством особого высказывания Гёделя оставалось то, что в силу своей «недоказуемости», в некотором смысле оно было верным. Но чтобы назвать его верным, требовался наблюдатель, который мог бы взглянуть на систему со стороны. Работая в пределах системы аксиоматики, подобное представлялось бы невозможным.

Следующая особенность заключалась в том, что доказательство требовало назвать арифметику последовательной. И если бы арифметика в действительности оказалась бы непоследовательной, каждое высказывание автоматически стало бы «доказуемым». Таким образом Гёдель сузил область исследования поставленных вопросов, доказав, что формальная система арифметики может быть либо непоследовательной, либо неполной. Также он показал, что последовательность арифметики не может быть доказана в пределах собственной системы аксиоматики. Для подобного доказательства было необходимо установить, что существует некоторое суждение (например, 2 + 2 = 5), верность которого не могла быть доказана. Однако, Гёдель смог показать, что подобное суждение обладает тем же свойством, каким обладает фраза «Это высказывание нельзя доказать». Именно так ученому удалось расправиться с первыми двумя вопросами, поставленных перед наукой Гильбертом. Арифметика не имела доказательства своей последовательности, более того, она не могла быть одновременно последовательной и полной. Это поразительное заявление ознаменовало новый этап в исследованиях, поскольку Гильберт до этого момента надеялся, что его программа сможет свести все факты воедино. И большим огорчением оно стало для тех, кто стремился увидеть в математике нечто абсолютно совершенное и неопровержимое. Однако, вместе с этим открытием возник ряд новых вопросов.

Последние лекции курса, который читал Ньюман, были посвящены доказательству теоремы Гёделя, и таким образом Алан достиг границы известных науке знаний. И все же третий вопрос Гильберта оставался еще открытым, хотя теперь он рассматривался с точки зрения своей «доказуемости», а не «верности», как ранее. Полученные Гёделем результаты не исключали возможность существования некоторого метода определения, какие суждения являются доказуемыми, а какие — нет. Возможно, некоторые утверждения Гёделя следовало исключить. Но существовал ли определенный метод или, как выразился Ньюман, «механический процесс», который мог бы быть применен к математическому утверждению и в результате которого возник бы ответ, доказуемо ли данное утверждение?

С одной стороны, такое требование казалось почти невыполнимым и затрагивало самую суть всего, что было известно о математике с позиции креативного мышления. Так, в 1928 году Харди отнесся к этой идее с особым негодованием, заявив: