Анатолий Шибанов - Александр Михайлович Ляпунов

Бобылев с ним согласился совершенно:

— Это очень правда. Лаплас и Лиувилль действовали весьма неосмотрительно, и не годится принимать их выводы безо всякой критической проверки. С теоремой Лагранжа в самом деле вышли они из пределов ее правомерия.

Великий французский математик и механик Лагранж утверждал, что для устойчивости равновесия достаточно, чтобы была минимальной потенциальная энергия. Тогда, по словам Лагранжа, «система, будучи первоначально расположенной в состоянии равновесия и будучи после этого весьма мало смещенной из этого состояния, будет стремиться сама по себе возвратиться в него». Применяя теорему своего соотечественника к жидкости, Лиувилль свел доказательство устойчивости фигуры равновесия к отысканию минимума ее потенциальной энергия. Но в том-то и состояла загвоздка, что доказана была лагранжева теорема вовсе не для жидкостей, а для твердых тел. А между ними и жидкостями, с точки зрения математиков, разница весьма значительная, можно сказать принципиальная.

Когда возникает потребность точно выразить положение твердого тела в пространстве, обходятся довольно малочисленным набором величин. Во всяком случае, вполне ограниченным их количеством. Для куба, например, достаточно указать позиции его вершин, которых восемь. Совсем не то, когда речь заходит о жидком теле. Чтобы узнать досконально его нахождение, потребны сведения о каждой мельчайшей частичке жидкости. Ибо частицы эти не связаны жестко, как в твердом теле, а достаточно самостоятельны, текучи и подвижны друг относительно друга. Пришлось бы прибегнуть к нескончаемому перечету всех частичек с указанием, какая где находится. Такая особенность математического описания жидкости не позволяет употребить к ней без специального обоснования те утверждения, которые выведены для твердых тел. Ведь даже обыкновенные высказывания повседневной жизни оборачиваются подчас совершеннейшей нелепицей, коли переложить их, не раздумывая, с твердых предметов на жидкие.

Взять хотя бы выражение «поднять с земли». Никого не затруднит поднять упавший под ноги камень. А если бы то была вода? Недаром, желая подчеркнуть тщету и бессмыслицу усилий, говорят: «Все равно что подбирать с земли разлитую воду». Вот оно — наглядное, зримое противоположение жидкого твердому! Разбежались по земле, растеклись во все стороны, разлетелись друг от друга многие множества мельчайших капелек воды. Бесконечны труды по их собиранию. Даже только отметить каждую, перечислить все до единой не представляется уму возможным.

Но если в привычном, вседневном обиходе рискуешь впасть в очевидную нелепость, коли позабудешь, что речь идет о твердом состоянии предмета, то как же нужно остерегаться в обращении с мудреными и головоломными научными суждениями, у которых и дна не разглядишь неискушенным оком! Где ручательство, что, безоговорочно перенося математическое утверждение с твердого тела на жидкое, не привнесешь неумышленно вздор, до времени сокрытый и замаскированный? Не попытаешься, сам того не ведая, «подбирать с земли разлитую воду»?

Лаплас и Лиувилль, конечно, хорошо сознавали разницу между твердым и жидким применительно к теореме Лагранжа. Но они полагали, что для жидкости можно провести такое же рассуждение, как для твердых тел. Держались того мнения, что различие между ними вовсе не принципиальное, а лишь количественное. Мысленно умножая число величин, определяющих положение тела, до бесконечного количества, можно, мол, перенести с твердого предмета на жидкий все результаты теоремы Лагранжа, всю ее доказательную силу.

— Никак не могу впасть с ними в согласие, — высказывал Александр свое неудовольствие в разговоре с Бобылевым. — Такие малострогие рассуждения вовсе не доказательство даже, а скорее обобщение по аналогии, которое нельзя рассматривать достаточным для расширения теоремы Лагранжа на неподлежащие ей предметы.

Такова была позиция Ляпунова. И в диссертации он взялся за то, чего не сделали ни Лаплас, ни Лиувилль, ни кто-либо другой из идущих по их стопам. Александр поставил долгом доказать теорему об устойчивости именно для жидкости. Вдохновляющим примером послужило ему безукоризненное доказательство теоремы Лагранжа, данное Дирихле в середине XIX века. Доказательство своей теоремы, которую он назвал в диссертации «основной», Ляпунов провел столь же строго, экономно и математически изящно. Вслед за тем принялся он исследовать устойчивость эллипсоидов Маклорена и Якоби. Этот большой труд и составил содержание его магистерской диссертации, законченной в марте.

А теперь, пребывая на деревенском покое, Александр, вместо того, чтобы услаждать себя долгожданным отдыхом, переделывал наново доказательство «основной теоремы», по-новому излагал результаты исследования эллипсоидальных фигур равновесия. Словом, подвергнул свое сочинение новой, нещадной редакции, задав себе египетскую работу. Когда Сергей поинтересовался как-то содержанием теперешней его деятельности, он ответил не без иронии: «По старой канве вышиваю новые узоры». — «Так ведь хорошему предела нет», — со вздохом заметил Сергей, слишком понимавший беспокойное стремление брата к совершенству.

Причиною повторительных усилий Александра был «Трактат о натуральной философии» выдающихся английских ученых В. Томсона и П. Тэта. Второе издание его, вышедшее в 1883 году, попало в руки Ляпунову уже после того, как посетил он декана. Просматривая знаменитый труд, стяжавший широкую известность в ученых кругах Европы, обнаружил в нем Александр новый принцип устойчивости, высказанный авторами. В книге приводились даже некоторые частные приложения его к жидким телам, хотя и безо всяких доказательств. Вместо минимума потенциальной энергии Томсон и Тэт отыскивали минимум полной энергии вращающейся жидкости, чтобы выделить устойчивые фигуры равновесия.

Александр пришел к неутешительному выводу, что по своему неведению прибегнул он к критерию вчерашнего дня, когда писал диссертацию. Более общий принцип Томсона и Тэта неминуемо вытеснит принцип Лагранжа, и завтра уже другим мерилом будут оценять устойчивость. Отойдет его работа вслед за классическим принципом Лагранжа к прошедшему, и обрекутся они неизвестности. Остается одно: переложить все вычисления и доказательства сообразно критерию Томсона и Тэта. Верный привычке проводить последовательно свои мысли, откинул Ляпунов всякие иные соображения, пожертвовал всеми расчетами и назначенными сроками, хотя понимал, что изменится всего лишь точка зрения, а сущность дела останется прежней.

Гораздо позже, уже в 1908 году, Ляпунов весьма критически отзовется о нынешнем своем мудровании над диссертацией. «…Я ничего не выиграл этим в том, что касается заключений об устойчивости, — заявит он, — и наряду с этим анализ вследствие этого сделался гораздо более сложным». Притом же переработка взяла у него несколько месяцев времени.