Анатолий Шибанов - Александр Михайлович Ляпунов

— Поступают в том роде, как один анекдотический чудак, который, уронив монету в темном проулке, побежал к ближайшему перекрестку, чтобы искать ее под фонарем, где светлее, — с улыбкой прокомментировал Стеклов.

— Только вот вопрос: можно ли заключение об устойчивости или неустойчивости, полученное для такого упрощенного уравнения, выдавать за достоверное? Ведь, изучая уравнение первого приближения, решаем мы совсем другую задачу об устойчивости, чем была поначалу.

Ляпунов вдруг ответно улыбнулся Стеклову и сказал:

— А с чудаком вы неплохо придумали. Под фонарем, конечно, искать способнее. Только монета осталась в той непроглядной темноте, которая показалась слишком затруднительной для поисков. Никто из имеющих дело с уравнениями первого приближения не может заранее ручаться, что не оставил «монету» в первоначальном уравнении, которое слишком «темно» для исследования. Тем не менее со времени Лагранжа никому не приходит в мысль утвердить законность такового подхода. А может, он и не законен вовсе и приводит к неверным результатам?

— Как же с такими неудобными сомнениями приступили вы к задаче о трех телах, которая лишь в первом приближении решается? — удивился Стеклов.

— Непременно надо было мне рассмотреть новый вопрос, посложнее. Как иначе расширить и углубить разрабатываемый мною метод, если не примерять его ко все более сложным задачам?

— Что, если упрощать уравнения, но не слишком: оставлять в них даже малые кой-какие члены, наиболее значимые в сравнении с другими? Не станет ли оттого точнее решение задачи устойчивости? — предложил Стеклов вопрошающе.

— Пробовали так делать и делают порой сейчас. Например, Раус и Пуассон учитывали некоторые из отбрасываемых обыкновенных членов, второстепенных по величине, и заключали об устойчивости по уравнениям второго приближения. Подобных авторов превозносят как совершающих исследования чрезвычайной тонкости и важности. Да только из чего они бьются? Не меняет такой подход сущности дела. Все равно: первое ли приближение, второе ли — задача остается принципиально иной в сравнении с исходной, раз уравнения берутся неполные, усеченные.

— Отчего тогда в большом ходу ныне теория устойчивости первого приближения? — недоумевал Владимир.

— Потому только, что первое приближение — единственная пока возможность исследовать устойчивость реальных устройств. Для практических надобностей ничего другого не припасено. Тут уж не до претензий на строгость, рады хоть что-то рассчитать, хоть как-то ответить, когда возникает вопрос об устойчивости. Впрочем, в технических приложениях такое упрощение не в редкость и мало кого смущает. К тому же в большинстве практических задач выводы по первому приближению согласуются, пусть только качественно, с результатами опыта. Отсюда и громкий успех трудов Рауса и Жуковского, которые подвели итог всей этой теории.

Ляпунов помолчал несколько и продолжил с досадою в голосе:

— Только меня внутренне коробит, когда употребляют в этой связи слово «теория». К данному слову у меня всегда серьезные претензии. Нужна полная строгость математической трактовки задачи устойчивости, если видеть в ней теорию в истинном понимании, а не просто сумму практических приемов. Требования к ней должны быть такими же, как и к любой другой строгой и точной математической теории, безо всяких скидок и допущений. Не мирился я с первым приближением, когда несколько лет тому решал задачу Чебышева, не могу удовлетвориться им и ныне, в задаче устойчивости.

— Значит, будете добиваться до точного решения задачи? Обратитесь к исходным уравнениям во всей их сложности? — допытывался Стеклов.

— Именно так. И мыслю, единственно на этом пути можно построить общую и строгую теорию устойчивости. Винтовое движение тела в жидкости было для меня лишь пробным камнем. Теперь нужно развивать в подробности и обобщать обозначенный там подход. В задаче о трех телах принужден был я сделать шаг назад, к первому приближению. Но то всего лишь частность, временный зигзаг, а не тенденция. Ныне снова хочу поворотиться к общему методу решения неурезанных, неукороченных уравнений.

— Будете приспособлять к тому изобретенные вами в работе восемьдесят восьмого года бесконечные ряды?

— Да, точные решения с удобством могут быть отысканы в виде бесконечных рядов слагаемых. А составляется каждое слагаемое из решения упрощенного уравнения первого приближения. Так что к первому приближению придется все же прибегнуть, но только лишь как промежуточной, вспомогательной ступени на пути к строгому и точному результату.

…Происходил тот разговор без малого два года назад. С той поры Ляпунов многое успел, ночь-ноченски просиживая за столом в кабинете. Особенно труженическим выдался минувший, восемьсот девяностый год. Пожалуй, только в новогоднюю ночь разрешил себе Александр отдохнуть от усиленных мозговых выкладок. Когда после дневных хлопот соединились они в праздничном застолье, Борис приветствовал брата пространным ободряющим словом.

— …Итак, важный зачин сделан. Теперь главное — не сбавлять темпа, — заключил он приподнято свое обстоятельное многоречение.

В последних числах декабря Александр отнес в типографию начало диссертации, но оценивал свои успехи достаточно скромно. Потому ответил сдержанно:

— Дело едва доведено до половины и прежде времени пока ликовать. Впереди тьма сколько работы. А вот тебя поздравляю с первым сданным экзаменом, тебе точно покладать руки нельзя.

За столом установилось оживление. Перебивая и поправляя один другого, вспоминали наиболее примечательные события истекающего года. Александр же впал в задумчивость. Не позволяя себе успокоенности, он тем не менее был доволен достигнутым. Проведены исследования, показывающие, когда об устойчивости можно судить по первому лишь приближению, то есть когда устойчивость или неустойчивость, выведенные из уравнений первого приближения, благонадежно свидетельствуют о подлинной устойчивости или неустойчивости. Для таких случаев, названных Ляпуновым «обыкновенными», нет расчета решать сложные первоначальные уравнения. Можно обойтись простыми математическими средствами и получить точный, истинный ответ. Бывает же так, что грубым, несовершенным способом некий факт может быть не только открыт, но и поставлен вне всякого сомнения!

Однако за разговорами не проморгать бы нам полуночи, подумал Александр и бросил взгляд на часы, стоявшие на камине. Издалека едва разглядел он, что часовая стрелка вплотную подошла к двенадцати, а минутная уже поспевает за ней. Но минутные деления на таком расстоянии не различались. Принимать во внимание только часовые деления — все равно что довольствоваться первым приближением, пришла ему мысль. Да, именно так: теория устойчивости первого приближения — не более как циферблат с одной часовой стрелкой. Можно ли по нему с уверенностью заключить о наступлении нового года? Иногда все же можно. Если стрелка показывает час, два часа ночи, значит, новый год уже в своих правах. Тут нет места сомнению. Таковы «обыкновенные случаи», которые им четко указаны и выделены. Негоже полностью упразднять метод первого приближения, он еще сослужит свою службу. Нужно лишь благовременно найти и означить разделительную черту: что этим методом льзя и чего не можно.