Маша Гессен - Совершенная строгость. Григорий Перельман: гений и задача тысячелетия

Сейчас, четверть века спустя, очевидны две вещи: во-первых, в действительности у Гамильтона не было плана доказательства разом гипотезы геометризации и гипотезы Пуанкаре. Во-вторых, его личная трагедия оказалась так же велика, как и его научное достижение: Гамильтон застрял, когда ему было сорок лет, и с тех пор ничуть не продвинулся вперед.

Там, где остановился Гамильтон, начал Перельман. С этого же времени он начал исчезать: все реже посещал семинары, постепенно свел к минимуму присутственные часы в Институте им. Стеклова и в конце концов стал приходить только за зарплатой. Постепенно интенсивность его электронной переписки уменьшилась настолько, что большинство знакомых решило: Перельман — один из тех, кто, однажды прогремев, столкнулся с неразрешимой задачей, был погребен под ней и покинул математику.

Теперь мы знаем, что причина была не в этом. Григорий Перельман закончил изучать математику и желал применить свои знания. Так вышло, что желание учиться или, если быть точным, желание узнавать о математике от других связывало Перельмана с внешним миром. Теперь же полезность мира стремилась к нулю, а следовательно, требования внешней среды стали еще менее обоснованными и вызывали еще большее раздражение, чем прежде. Перельман повернулся к миру спиной, к задаче — лицом.

Мир научил Григория Перельмана заострять внимание на одной проблеме. Гамильтон, по сути, превратил гипотезу Пуанкаре в олимпиадную суперзадачу и, если так можно выразиться, сбил с нее спесь.

В мире ведущих математиков интеллектуальная элита — это люди, которые открывают новые горизонты и формулируют вопросы, на которые пока ни у кого нет ответов. Ступенью ниже стоят те, кто способен указать путь, ведущий к решению этих вопросов (часто это члены элиты, находящиеся внизу карьерной лестницы, например те, кто работает в аспирантуре над диссертацией, доказывая чужие теоремы, но не формулируя пока собственные). И наконец, есть редкие одиночки, которые доводят доказательство до конца — упорные, требовательные и терпеливые математики, которые идут до конца по пути, намеченному другими. Если применить эту классификацию к нашей истории, то Пуанкаре и Терстона следует отнести к первой группе, Гамильтона — ко второй, Перельмана — к третьей.

Так кто же такой Перельман? Человек, которому никогда не попадалась задача, которую он не мог решить. Возможно, работа над пространствами Александрова, которой он был занят в Беркли, стала исключением и Перельман в самом деле тогда застрял. Но возможно, однако, что это был единственный раз, когда он попытался сделать нечто, чтобы взойти с третьей на вторую или даже первую ступень математического Олимпа.

Третья категория сильно напоминает решение олимпиадных задач. Не только само задание было четко сформулировано, но и дополнительные условия: путь к решению, который наметил Гамильтон. Итак, это была очень, очень сложная олимпиадная задача — ее нельзя было решить за несколько часов, недель или даже месяцев. Это была задача, которую, возможно, не мог решить никто, кроме Перельмана, а Перельман как раз искал такую задачу, чтобы заставить работать свой мозг на полную мощность.

Перельману удалось доказать две основные вещи. Во-первых, он показал, что Гамильтону не нужно было предполагать, что кривизна всегда будет одинаковой: в воображаемом пространстве, в котором применяется доказательство, это и так будет всегда верно. Во-вторых, Перельман показал, что все сингулярности, которые могут возникнуть в процессе деформации, имеют одинаковую природу и могут появиться, когда кривизна начинает неуправляемо раздуваться. Поскольку все сингулярности имеют единую природу, для устранения их всех нужен один инструмент — хирургия, предложенная Гамильтоном. Более того, Перельман доказал, что некоторые сингулярности, о которых говорил Гамильтон, вообще не появятся.

В перельмановой доказательной логике есть нечто забавное, отчасти ироничное. Перельман преуспел благодаря непостижимой способности своего ума охватывать весь широчайший спектр возможностей. Он имел все основания утверждать: он знает все, что может случиться с объектом по мере его деформации. И, зная это, он смог исключить некоторые сценарии как невозможные. Рассуждая о воображаемом четырехмерном пространстве, он ссылался на то, что может и что не может произойти "в природе". По сути, Перельману в математике удавалось то, что он пытался делать в жизни: охватить все возможности, существующие в природе, и отбросить все, что выходит за рамки естественного — будь то голоса кастратов, автомобили, антисемитизм или еще какие неудобные сингулярности.

Дата: Tue, 12 Nov 2002 05:09:02 -0500 (EST) От: Григорий Перельман Кому: [несколько адресатов] Тема: Новый препринт

Уважаемый [имя]/

Позвольте обратить Ваше внимание на мою статью math.DG 02111 $9, размещенную на сайте arXiv.

Аннотация

В настоящей статье вводится величина, монотонно изменяющаяся в силу потока Риччи в любой размерности и без дополнительных предположений о кривизне. Она (эта величина) интерпретируется как энтропия некоторого канонического ансамбля. Приведены несколько геометрических приложений. Так, (1) поток Риччи на пространстве римановых метрик, рассматриваемых с точностью до диффеоморфизма и масштабирования, не имеет нетривиальных, т.е. отличных от неподвижных точек, периодических орбит;(2) в области, где сингулярности возникают за конечное время, радиус инъективности контролируется кривизной; (3) поток Риччи не может быстро преобразовывать почти евклидову область в сильно искривленную область, вне зависимости от того, что происходит на отдалении. Мы также проверяем несколько утверждений программы доказательства гипотезы геометризации Терстона для замкнутого трехмерного многообразияу предложенной Ричардом Гамильтоном. Мы даем набросок доказательства этой гипотезы, использующего предшествующие результаты о коллапсировании с локальной нижней оценкой кривизны.

С наилучшими пожеланиями Гриша.

Такое письмо получила примерно дюжина американских математиков. Я уже упоминала, что днем ранее Перельман разместил статью на сайте arXiv.org, который принадлежит библиотеке Корнельского университета и создан для быстрого обмена информацией между учеными. Этот текст был первым из трех препринтов, содержащих результаты семилетней войны Перельмана с гипотезой Пуанкаре и гипотезой геометризации.

"Я начал читать статью, — рассказал мне Майкл Андерсон. — Хотя я не специалист по потокам Риччи, мне стало понятно, что Перельман сделал большой шаг вперед, что решение гипотезы геометризации и, следовательно, гипотезы Пуанкаре у меня перед глазами". Каждый, кто получил письмо Перельмана, годами сражался с одной из этих задач. Реакция каждого из них на новости оказалась противоречивой. С одной стороны, если российскому математику в самом деле удалось доказать обе гипотезы, то это грандиозное достижение, вызывающее восторг. С другой стороны, это достижение принадлежит другому и разрушает твою надежду на успех.