Леопольд Инфельд - Эварист Галуа (Избранник богов)

— Постараюсь.

Во введении он прочел определение алгебры:

«Алгебра в широком значении слова — это искусство определения неизвестных величин посредством функций известных или принимаемых за известные, а также искусство нахождения общих решений уравнений. Такое решение заключается в нахождении для всех уравнений одной и той же степени таких функций коэффициентов алгебраических уравнений, которые могут представлять собой их корни. В настоящее время эти функции найдены только для уравнений первой, второй, третьей и четвертой степени…»

Он прочел книгу Лагранжа не так быстро, как книгу Лежандра. Впечатления его были противоречивы. Как ни увлек его этот великий труд, он оставил у него и чувство неудовлетворенности, возраставшее с каждой прочитанной страницей. В геометрии он ясно видел общее построение, здесь — нет. И он знал, что не видит его, потому что его не существует. В здании геометрии видны были стиль, гармония, красота. Алгебра же была странным сочетанием построек различных стилей, большинство из которых было лишь заложено, и ни одно не завершено. За нагромождением построек не чувствовалось замысла великого зодчего.

Он старался определить причину своего недовольства. Думал об основной задаче алгебры — задаче решения алгебраических уравнений.

Алгебра, то есть элементарная алгебра, была порождена именно этой задачей. Истоки ее восходят к давним временам. Современная алгебра, с ее обширным полем исследований сегодняшнего дня, тоже зародилась из этой задачи, и истоки ее восходят к работе Галуа.

Итак, решение уравнения может быть либо легкой задачей, известной еще в античные времена; либо трудной задачей, с которой справились в период Возрождения, либо, в каком-то смысле, как это признавали Абель и Галуа, неразрешимой задачей.

Сказать, что если 2x-1=0 , то x=1/2 , это значит решить уравнение столь незначительное, что оно вряд ли достойно этого названия. Отсюда можно подняться ступенькой выше, к уравнению второй степени, подобному x 2-5x+6=0 . Здесь нам тоже требуется число (или числа), которые, заменив х, удовлетворят условиям этого уравнения. Другими словами, мы находим корни этого уравнения. Действительно, вставьте в уравнение число 2 или число 3 вместо х, и вы увидите, что любая эта цифра подходит к уравнению x 2-5x+6=0 ( x 2 означает x раз x; 5x означает 5 раз x ).

Даже изучение этих сравнительно простых уравнений второй степени повело к далеко ведущему открытию мнимых и комплексных чисел.

Легко возразить: «Это тонкая паутина абстрактных понятий, умозрительных задач, весьма далеких от нашей обычной жизни». Однако уравнение второй степени приводит нас к комплексным числам — повседневному орудию инженеров и физиков. Из размышлений математика, из абстрактной нити его рассуждений возникли современная наука, современная техника.

В уравнении 2x-1=0 числа 2 и 1 являются коэффициентами. Мы находим решение этого очень простого уравнения, разделив один на два. Подобным образом в уравнении x 2-5x+6=0 числа 1, -5, 6 — тоже коэффициенты. Корни этого уравнения можно найти, проделав с этими коэффициентами определенные действия. В самом деле, мы помним, что этими корнями были 2 и 3 . Числа 2 и 3 могут быть найдены действиями вот таких простых формул:

Этими формулами можно воспользоваться, если знать коэффициенты, над которыми нужно совершать действия. В случае уравнения второй степени они еще достаточно просты, хотя значительно сложнее, чем для уравнений первой степени.

Некоторые алгебраические уравнения можно решить в радикалах. Это значит, что можно найти их решение конечным числом действий, совершаемых с коэффициентами алгебраических уравнений. Такими действиями являются рациональные действия (сложение, вычитание, умножение, деление) и извлечение корней. Если существует решение, которое можно достигнуть этими действиями, мы говорим, что уравнение можно решить в радикалах.

Уравнение первой степени — это пустяк. Уравнение второй степени несложно. При решении уравнений третьей степени возникают трудности, но это посильная задача, и она была разрешена почти за триста лет до того, как Галуа появился на свет. Корни, иными словами, решение уравнения третьей степени, можно найти путями, известными каждому математику: задача может быть сведена к уже известной — к решению уравнения второй степени. В математике этот прием используется постоянно: решение новой задачи сводится к уже известному решению старой. Подобным же образом алгебраическое уравнение четвертой степени может быть решено в радикалах, ибо задача его решения может быть сведена к задаче решения алгебраического уравнения третьей степени, а оно известно.

Но здесь метод, изложенный Лагранжем в его книге, неожиданно, резко и полностью обрывался. Верно, что если можно решить уравнение второй степени, значит можно решить и уравнение третьей. Если мы можем решить уравнение третьей, значит можно решить и уравнение четвертой. Казалось бы, эту цепочку можно продолжить: если можно решить уравнение четвертой, значит мы в состоянии решить уравнение пятой. Как по лестнице, мы сможем подниматься выше и выше, к решению уравнений все более высоких степеней.

Можно ли восходить от одного уравнения к другому, сводить решение уравнения высшей степени к решению ближайшего уравнения низшей? Можно ли решать все алгебраические уравнения рациональными действиями и с привлечением радикалов? Другими словами, можно ли продолжить лестницу бесконечно, или она обрывается?

Галуа чувствовал, что здесь наиболее существенная задача алгебры, задача, решения которой Лагранж не знал. Метод, разработанный Лагранжем, был пригоден для уравнений вплоть до четвертой степени. Но для решения уравнения пятой степени он обращался к уравнению шестой. Таким образом, решение задачи «сводилось» к решению гораздо более сложной. Все равно что учиться прыгать с крыши Луи-ле-Гран, тренируясь на прыжках с башни Собора Парижской богоматери. И опять-таки, если метод Лагранжа применять для решения уравнений шестой степени, то задача сводилась к решению уравнения десятой. Все равно что пробовать попасть на башню Собора Парижской богоматери, не взбираясь наверх, а прыгая на нее с вершины Монблана!

Сначала Галуа полагал, что должен существовать метод, доказывающий, что все алгебраические уравнения могут быть решены в радикалах. И неважно, легко ли осуществить это практически. Центральной проблемой алгебры ему казалась задача найти доказательство того, что это можно сделать, что такое решение всегда существует.