Борис Розенфельд - Пространства, времена, симметрии. Воспоминания и мысли геометра

В Казани Скопец рассказал о предложенной им новой интерпретации геометрии Лобачевского и поздравил Казанский университет с 150-летием от имени его "старшего брата" Ярославского пединститута - Демидовского лицея, который был основан в 1803 г.

В 1952 г. мы с З.А.Скопецом опубликовали совместную статью "Квадратичные кремоновы преобразования на плоскости и комплексные числа". В этой статье З.А.Скопец определил инверсии относительно конических сечений как такие преобразования плоскости, при которых всякая точка Х плоскости переходит в точку Х' пересечения поляры точки Х относительно конического сечения с диаметром этого конического сечения, проходящим через точку Х. Он доказал, что квадратичные кремоновы преобразования на проективной плоскости являются произведениями проективных преобразований на инверсии относительно конических сечений, а я выразил инверсии относительно окружностей на евклидовой и псевдоевклидовой плоскостях и относительно циклов на изотропной плоскости с помощью однотипных функций комплексного, двойного и дуального переменных.

Впоследствии З.А.Скопец защитил докторскую диссертацию, стал профессором, автором многих учебников и воспитал большое количество учеников - геметров и методистов. З.А.Скопец умер в 1984 г.

Особые группы Ли классов F и Е

Основателю теории групп Ли Софусу Ли были известны 4 бесконечные серии вещественных простых групп Ли, которые в настоящее время обозначаются А, C, D - группы коллинеаций n-мерных проективных пространств, группы движений 2-n мерных эллиптических пространств, группы симплектических преобразований (2n + 1) -мерных симплектических пространств и группы движений (2n + 1) - мерных эллиптических пространств. Группы первой и третьей из этих серий некомпактны, группы второй и четвертой из этих серий компактны. Э.Штуди и Г.Г.Фубини установили, что компактными группами класса А являются группы движений n-мерных комплексных эрмитовых эллиптических пространств, К.Шевалле установил, что компактными группами класса C являются группы движений n-мерных кватернионных эрмитовых эллиптических пространств.

В.Киллинг и Э.Картан установили, что кроме бесконечных серий групп Ли имеются 5 классов особых простых групп Ли, которые в настоящее время обозначаются G, F, E, E и Е. Э. Картан доказал, что компактная группа класса G является группой автоморфизмов алтернативного тела октонионов a + bi + cj + dk + el + fp + gq + hr, где i2 = j2 = l2= -1, ij = -ji =k, kl = -lk = r, lj = -jl = q, il = - li = p, jp = - pj = r.

Ганс Фрейденталь в 1951 г. доказал, что компактная группа класса F является группой движений октонионной эрмитовой эллиптической плоскости, а одна из некомпактных групп класса Е является группой коллинеаций октонионной проективной плоскости.

В 1954 г. я опубликовал в "Докладах Академии наук Азербайджанской ССР" заметку, в которой, применяя тот же прием, что и в моей докторской диссертации, доказал, что некомпактная группа класса Е, рассматривавшаяся Фрейденталем, является группой движений эрмитовой эллиптической плоскости над тензорным произведением алгебр октонионов и двойных чисел, откуда следует, что компактная группа класса Е является группой движений эрмитовой эллиптической плоскости над тензорным произведением алгебр октонионов и комплексных чисел. Академиков математиков в Баку в то время еще не было и эта заметка была представлена в Доклады академиком - механиком И.Г.Есьманом.

"Неевклидовы геометрии"

В Баку я закончил писать свою первую книгу. Начал писать ее я еще в Ашхабаде, писал ее, работая в военном учреждении, много работал над ней в Баку. С одним из предварительных вариантов я пришел в издательство физико-математической литературы, называвшееся тогда Государственным издательством технико-теоретической литературы (ГИТТЛ), тогда оно находилось еще в Орликовом переулке. Я показал книгу Д.А. Райкову, заведующему математической редакцией, он и предложил мне назвать книгу "Нееклидовы геометрии".

Дмитрий Абрамович Райков (1905-1981) был замечательный математик и редактор. Б.Н.Делоне рассказывал мне, что редактируя его курс аналитической геометрии, Райков сделал так много улучшений и вставок, что стал соавтором этой книги.

Я сдал мою рукопись в издательство, и через некоторое время получил ее с замечаниями рецензента. По стилю замечаний я узнал, что их писал Николай Владимирович Ефимов (1910-1982), прекрасный геометр, впоследствии член-корреспондент Академии наук СССР и декан Мехмата.

Я внес требуемые исправления и просил Ефимова быть редактором книги. Ефимов отказался, так как был сильно загружен.

Но в это время я получил письмо от Дмитрия Ивановича Перепелкина (1900-1954), который тогда заведовал кафедрой геометрии в Пединституте имени Ленина (МГПИ). Он узнал от И.М.Яглома о том, что я пишу книгу, и обратился ко мне с каким-то вопросом. Я попросил его быть редактором моей книги, и он согласился. Перепелкину моя книга очень понравилась, он написал положительный отзыв, и Г.Ф.Рыбкин, на которого я произвел хорошее впечатление в Казани, подписал со мной договор. Перепелкин написал мне огромное количество замечаний и советов, иногда даже предлагал другие, более простые, доказательства. Дмитрий Иванович в это время был тяжело болен и не дожил до выхода книги в 1955 г.

Важными ступенями на пути создания этой книги были моя докторская диссертация 1947 г., статья 1949 г. в сборнике статей Картана и статья 1952 г. в сборнике "125 лет геометрии Лобачевского".

Книга "Неевклидовы геометрии" состоит из 7 глав: 1)"Евклидовы пространства", 2)"Неевклидовы пространства как сферы с отождествленными диаметрально противоположными точками", 3)"Неевклидовы пространства как метризованные проективные пространства", 4)"Неевклидовы пространства как метризованные конформные пространства", 5)"Спинорные представления движений неевклидовых пространств", 6)"Неевклидовы пространства над алгебрами" 7)"Неевклидовы пространства как римановы пространства постоянной кривизны. Геометрия простых групп Ли как неевклидова геометрия".

В этой книге термин "евклидовы пространства" я применял и к евклидовым и к псевдоевклидовым пространствам, а термин "неевклидовы пространства" - к эллиптическим пространствам, в том числе к неевклидову пространству Римана и к гиперболическим пространствам, в том числе к неевклидову пространству Лобачевского, и к тем пространствам, которые я в статье 1949 г. называл псевдоэллиптическими.

В 1-й главе, кроме геометрии евклидоных и псевдоевклидовых простраств, кратко описаны важнейшие доказательства постулата параллельности Евклида. Во 2-й - 4-й главах изложены сферические, проективные и конформные интерпетации вещественных неевклидовых геометрий. В 5-й главе изложены алгебры комплексных чисел и кватернионов и их аналоги и интерпретации Картана и Джавадова спинорных представлений движений вещественных неевклидовых геометрий. В 6-й главе изложены эрмитовы неевклидовы геометрии над алгебрами комплексных чисел и кватернионов и над аналогами этих алгебр и интерпретации вещественных проективных и симплектических геометрий с помощью этих эрмитовых пространств. В этой же главе изложена теория Джавадова пространств над алгебрами матриц и их интерпретаций в вещественных пространствах. В 7-й главе изложены алгебра октонионов и интерпретации особых простых групп Ли классов F и Е в виде эрмитовых эллиптических плоскостей над алгебрами. В этой же главе книги были даны также определения римановых и псевдоримановых пространств и пространств аффинной связности. Здесь же было показано, что вещественные неевклидовы пространства являются римановыми и псевдоримановыми пространствами постоянной кривизны, определены обобщения пространств постоянной кривизны - симметрических римановых и псевдоримановых пространств и пространств аффинной связности и, в частности, инвариантных метрик и аффинных связностей в группах Ли, и указаны применения этих пространств к геометрии образов симметрии.