Олег Арсенов - Григорий Перельман и гипотеза Пуанкаре

Доказательство Григория Перельмана основано на идеях, которые развил в начале 1980-х годов Ричард Гамильтон. Эти идеи неожиданным образом выводят топологические заключения из фактов о дифференциальных уравнениях — так называемых потоках Риччи, обобщающих уравнения термодинамики.

Каким же образом новые топологические решения способны изменить наши материалистические взгляды на окружающее? Ведь, следуя Уильяму Барретту и его «Иллюзии техники», мы должны были бы считать, что чрезмерное пристрастие к формализму приводит к убеждению, что

-63-

математика — свободный экскурс в пустоту. Некоторые философы не без одобрения отнеслись к подобной сентенции. Вполне понятно, заявили они, что вряд ли можно строить самолеты или запускать ракеты без помощи математики. Однако не стоит, вырывая из контекста то или иное математическое утверждение, спрашивать, какому именно факту в реальном мире оно соответствует. Ясно, что на подобные вопросы невозможно дать четкий ответ…

Нам необходимо также понятие разума как продукта природы, связанного с ней в самих основах своего проявления. Математическим сущностям нет места во вневременном мире… Все они — творения человеческого разума, обретающие бытие только в своем взаимоотношении с окружающей природой. Все человеческое мышление протекает на фоне природы.

Один из лучших обзоров необычной проблемы Перельмана составлен журналистами Сильвией Насер и Дэвидом Грубером для американского еженедельника «Нью Йоркер». Это популярное и авторитетное издание публикует репортажи, комментарии, критику, эссе, художественные произведения, юмор, комиксы и поэзию. Большинство открытий в области литературы впервые появляются именно на страницах этого еженедельника, и хотя его основные темы связаны с культурной жизнью Нью-Йорка, издание весьма популярно и за пределами мегаполиса. Тем необычнее было появление в этом журнале обширной статьи под названием «Многообразная судьба. Легендарная проблема и битва вокруг ее решения».

Американские репортеры начали свой рассказ с предыстории открытия Перельмана, когда вечером 20 июня 2006 года несколько сотен физиков, включая одного нобелевского лауреата, собрались в конференц-зале пекинского отеля «Дружба» на конференцию, организованную известным китайским математиком Шин-Тун Яу. В конце 1970-х годов Яу, которому было тогда двадцать с небольшим лет, совершил серию блестящих открытий, которые положили начало революционному продвижению теории струн в физике и принесли ему, наряду с высшей математической наградой — Филдсовской

-64-

медалью, репутацию выдающегося мыслителя сразу в двух областях науки.

Рис.23. Карикатура из еженедельника «Нью Йоркер» на китайского математика Шин-Тун Яу, упорно оспаривавшего паритет Григория Яковлевича Перельмана в решении проблемы Пуанкаре

«Яу, коренастый человек пятидесяти семи лет, стоял за кафедрой в майке-безрукавке и очках в толстой черной оправе и рассказывал собравшимся о том, как два его ученика, Си-Цинь Чжу и Куай-Донг Као, несколько недель назад завершили доказательство гипотезы Пуанкаре. "Я полностью уверен в результатах их работы, — сказал Яу. — Китайские математики могут по праву гордиться таким замечательным успехом". Он также сказал, что Чжу и Као были в большой степени обязаны своим успехом его давнишнему американскому коллеге Ричарду Гамильтону, внесшему огромный вклад в решение проблемы Пуанкаре. Он также упомянул имя Григория Перельмана, чье участие, по признанию самого Яу, было немаловажным. Тем не менее Яу сказал: "В работе Перельмана, несомненно блестящей, многие ключевые аспекты доказательства представлены схематично, некоторые — лишь обозначены, а некоторые — просто отсутствуют". И добавил: "Мы бы хотели получить некоторые комментарии от Перельмана. Но он живет в Санкт-Петербурге и отказывается общаться с другими людьми".

В течение полутора часов Яу обсуждал некоторые технические детали доказательства, приведенного его учениками. По окончании его речи никто не задал ни одного вопроса».

-65-

Американские обозреватели отметили, что Яу стал профессором математики в Гарварде и директором математических институтов в Пекине и Гонконге, проводя время в постоянных разъездах между Соединенными Штатами и Китаем. Например, он добился проведения секционных заседаний международной физической конференции, посвященной теории струн, в фешенебельном пекинском отеле «Дружба». Одной из целей этой конференции, которую Яу организовал при поддержке китайского правительства, была демонстрация достижений отечественной науки в области теоретической физики. Яу даже удалось пригласить знаменитого британского физика Стивена Хокинга, который выступил с пленарным докладом перед многими тысячами китайских студентов в пекинском Великом дворце народов. Сообщение самого Яу на этой конференции было посвящено именно проблеме Пуанкаре и поиску путей ее решения. Наверное, это выглядело довольно необычно среди других докладов по теоретической и математической физике. Тем не менее, по отзывам участников, хотя большинство слушателей имело довольно смутное представление об этой столетней геометрической задаче, своеобразная топологическая шарада о свойствах трехмерных сфер заинтересовала многих. Интерес подогревало и то, что в представлении многих математиков гипотеза Пуанкаре является своего рода святым Граалем — в силу своего большого влияния как на дальнейшее развитие проективной геометрии, так и на космологические исследования эволюции формы нашего Мира.

Тут надо отметить, что удивительная связь чисто физической проблемы фундаментального строения сверхмикроскопических глубин Мироздания и решений проблемы Пуанкаре далеко не случайна. Вот и Моррис Клайн, обсуждая «непостижимую эффективность математики», отмечает согласие многих математиков в том, что их наука находит необычайно широкое применение; при этом они также признают свою несостоятельность в объяснении этого феномена. Замечательная группа французских математиков, работавших под коллективным псевдонимом Никола Бурбаки, утвержда-

-66-

ла, что между экспериментальными явлениями и математическими структурами существует тесная взаимосвязь. Однако абсолютно неизвестно, какими причинами обусловлена эта взаимосвязь, и вряд ли мы когда-нибудь узнаем. В далеком прошлом математические закономерности выводили из твердо установленных экспериментальных истин, в частности непосредственно из интуитивного восприятия пространства. Однако квантовая физика показала (подробности читатель может узнать в книге автора «Тайны квантового мира»), что эта макроскопическая интуиция реальности охватывает и микроскопические явления совершенно иной природы, связывая их с математикой, которая заведомо была создана не как приложение к экспериментальной науке. Следовательно, перед нами не что иное, как контакт двух дисциплин, реальные связи между которыми скрыты глубже, чем можно предполагать априори. Математику можно представить как своего рода хранилище математических структур. Некоторые аспекты физической или эмпирической реальности удивительно точно соответствуют этим структурам, словно последние подогнаны под них.