Олег Арсенов - Григорий Перельман и гипотеза Пуанкаре

Появление Интернета наконец-то позволило Григорию Яковлевичу работать в столь ценимом им одиночестве, используя необъятные информационные массивы электронных данных. Так, Перельман много работал над свежими статьями Гамильтона и даже провел по ним несколько семинаров у себя в институте.

Опубликовано много сотен страниц пояснений и комментариев к двум препринтам Перельмана. Пока ошибок не найдено, и большинство экспертов склоняются к мысли, что задача действительно решена.

В мае 2006 года комитет из девяти членов Всемирного союза математиков постановил наградить Григория Перельмана за решение гипотезы Пуанкаре медалью Филдса, которая вручается за достижения в области математики один раз в четыре года. Григорий за ней не приехал. Церемония награждения в Мадриде 22 августа прошла без гения. Несмотря на то что его уговаривал прибывший в Питер президент Всемирного союза математиков Джон Болл, Перельман объяснил, что признание ему не нужно. Главное, что мировая математическая общественность уверилась в совершенной правоте представленных им доказательств. Правда, к медали полагалось еще и вознаграждение — порядка семи тысяч долларов, но оно выдается только членам Международного математического союза, а для вступления в эту престижнейшую организацию, кроме многих бюрократических формальностей, следует еще и внести весомый вступительный

-94-

взнос — около пяти тысяч долларов. Откуда же взялся пресловутый миллион?

Внушительный приз действительно существует. Но к медали Филдса прямого отношения не имеет. В 1998 году на средства миллиардера Лэндона Клэя в Кембридже (США) был основан Математический институт его имени для популяризации математики. 24 мая 2000 года эксперты института выбрали, по их мнению, семь самых головоломных проблем и назначили награду в миллион долларов за разгадку каждой. Список называется «Проблемы тысячелетия» и включает следующие пункты.

1. Проблема Кука.Нужно определить, может ли проверка правильности решения какой-либо задачи быть более длительной, чем получение самого решения. Эта логическая задача важна для специалистов по криптографии — шифрованию данных.

2. Гипотеза Римана.Существуют так называемые простые числа, например 2, 3, 5, 7 и т. д., которые делятся только сами на себя. Сколько их всего, неизвестно. Риман полагал, что это можно определить и найти закономерность их распределения. Кто найдет, тоже окажет услугу криптографии.

3. Гипотеза Берча и Свиннертон-Дайера.Проблема связана с решением уравнений с тремя неизвестными, возведенными в степени. Нужно придумать, как их решать, независимо от сложности.

4. Гипотеза Ходжа.В XX веке математики открыли метод исследования формы сложных объектов. Идея в том, чтобы использовать вместо самого объекта простые «кирпичики», которые, склеиваются между собой и образуют его подобие. Нужно доказать, что такое допустимо всегда.

5. Уравнения Навье— Стокса.О них стоит вспомнить в самолете. Уравнения описывают воздушные потоки, которые удерживают его в воздухе. Сейчас их решают по приблизительным формулам. Нужно найти точные формулы и доказать, что в трехмерном пространстве существует решение, которое всегда верно.

-95-

6. Уравнения Янга— Миллса.В мире физики существует гипотеза: если элементарная частица обладает массой, то есть и ее нижний предел. Но какой — не понятно. Нужно до него добраться. Это, пожалуй, самая сложная задача. Для ее решения необходимо создать «теорию всего»: уравнения, объединяющие все силы и взаимодействия в природе. Тот, кто сумеет это сделать, вероятно, получит и Нобелевскую премию.

7. Гипотеза Пуанкаре.Любое замкнутое односвязное трехмерное пространство гомеоморфно трехмерной сфере.

Казалось бы, больше ничего не нужно: проверяйте доказательство и платите миллион. Однако одним из условий фонда Клэя была публикация результата в реферируемых изданиях, а этого Перельман почему-то делать не хотел. Он вообще старался (и до сих пор старается) избегать любых контактов с прессой. Создается впечатление, что приз Григория Яковлевича не интересует, а неразрывно связанная с ним слава — тяготит. Работы Перельмана положили начало интриге. В своих статьях он развил общую теорию и набросал ключевые моменты доказательства не только гипотезы Пуанкаре, но и гипотезы геометризации. Полного доказательства во всех деталях Перельман не представил, хотя утверждал, что обе гипотезы он доказал.

За доказательство гипотезы Пуанкаре Математический институт Клэя действительно присудил премию в миллион долларов, что может показаться удивительным: ведь речь идет об очень частном, малоинтересном факте. На самом деле для математиков важны не столько свойства трехмерной поверхности, сколько факт трудности самого доказательства. В этой задаче в концентрированном виде сформулировано то, что не удавалось доказать с помощью имевшихся ранее идей и методов геометрии и топологии. Она позволяет как бы заглянуть глубже в тот пласт задач, который можно будет решить только с помощью идей нового поколения.

Сегодня уже можно уверенно утверждать, что эксперты мирового уровня после долгих лет всестороннего анализа подтвердили: Григорий Яковлевич Перельман доказал гипотезу, над которой лучшие умы бились ровно 100 лет.

-96-

Рис. 38. Институт Клэя в Кембридже, штат Массачусетс

Итак, медаль Филдса была присуждена Григорию Перельману, но российский ученый отказался от премии, которой он, без сомнения, достоин. Насер и Грубер так описывают этот неожиданный поворот событий:

-97-

«Болл планировал превратить очередной конгресс ММС в настоящее историческое событие. В работе конгресса должны были принять участие более трех тысяч математиков, король Испании Хуан Карлос дал согласие председательствовать на церемонии вручения наград. Информационный бюллетень ММС предсказывал, что конгресс останется в истории как "момент, когда гипотеза стала теоремой". Болл, полный решимости уговорить Перельмана принять участие в конгрессе, решил отправиться в Санкт-Петербург.

Болл намеревался держать факт своего визита в тайне — имена лауреатов Филдсовской премии становятся известны только на церемонии вручения, поэтому конференц-зал, в котором он встретился с Перельманом, был безлюден. На протяжении десяти часов в течение двух дней Болл пытался уговорить Григория принять награду. Перельман, худощавый, лысеющий мужчина с курчавой бородой, густыми бровями и сине-зелеными глазами, вежливо слушал. Он не говорил по-английски в течение трех лет, но это не мешало ему очень точно и связно возражать на аргументы Болла. Болл и Перельман в какой-то момент покинули конференц-зал и отправились в длинную прогулку по городу — любимый вид отдыха Перельмана. Две недели спустя Григорий подвел итог той встречи: "Он предложил мне три альтернативы: принять и приехать, принять и не приехать, в этом случае награда будет выслана позже, или отказаться. С самого начала я сказал ему, что выбираю третье". Филдсовская медаль, по словам Григория, его совершенно не интересовала. "Это не имеет никакого значения, — сказал он. — Всем понятно, что если доказательство верно, то никакого другого признания заслуг не требуется"».