Журнал «Юный техник» - Юный техник, 2013 № 01

4. К числу 374 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 45.

Найдите все решения.

5. В 6 часов утра лодка отправилась из пункта А в пункт В вниз по течению реки. Три часа спустя после прибытия в пункт В лодка отправилась в обратный путь и прибыла в А в 7 часов вечера того же дня. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость лодки равна 5 км/ч, а расстояние между пунктами А и В составляет 24 км.

6. Фотография размером 20x30 см вставлена в рамку прямоугольной формы постоянной ширины. Определите ширину рамки, если площадь рамки составляет 36 % площади фотографии.

7. Периметр прямоугольного треугольника равен 24, а его площадь также равна 24. Найдите стороны треугольника.

8. Сократите дробь

9. Найдите все пары натуральных чисел, произведение которых равно 2940, а наибольший общий делитель равен 7.

10. Решите систему неравенств

11. Решите уравнение cos 4x + sin 8x = sin 4x + cos 8x.

12. Сумма первых 23 членов арифметической прогрессии равна 1978, а сумма первых 35 членов равна 2380. Найдите сумму первых 92 членов этой прогрессии.

13. Решите уравнение

14. Дан треугольник со сторонами 13, 14, 15. Окружность с центром на большей стороне касается двух меньших сторон треугольника. Найдите: а) радиус окружности; б) длины отрезков, на которые центр окружности делит большую сторону треугольника.

ФИЗИКА

1. Гребцы на лодке стартовали от пункта А до пункта В вниз по течению реки. Спустя t 1= 1 ч они добрались до пункта Б . Здесь их взял на буксир катер и через время t 2= 1 ч они вернулись к месту старта. Определите скорость течения реки ν rи расстояние L между пунктами А и Б , если известно, что скорость лодки в стоячей воде ν л= 10 км/ч, скорость катера в стоячей воде ν к— 18 км/ч. Временем, затраченным на разворот и организацию буксировки, пренебречь.

2. Для изучения «неопознанных плавающих объектов» (НПО) в озере установили неподвижный подводный микрофон. Когда был обнаружен покоящийся объект, микрофон регистрировал регулярные короткие звуковые сигналы с интервалом τ 1 = 1 с. Когда НПО пришел в движение, микрофон стал регистрировать сигналы с интервалом τ 2= 1,001 с. Определите скорость и направление движения НПО. Считать, что за все время наблюдения НПО и микрофон находились на одной прямой. Во время движения объект издавал сигналы с той же периодичностью, что и в покое. Скорость звука в воде ν зв = 1500 м/с.

3. Для охлаждения нагретых стальных деталей их можно поместить в сосуд со специальным маслом. Какую максимальную массу нагретых стальных деталей можно охладить в сосуде вместимостью V = 10 л? Плотность масла ρ м= 800 кг/м3, плотность стали ρ ст= 7800 кг/м3.

Известно, что для охлаждения одного килограмма стали требуется 12 кг масла, при условии, что детали полностью погружены в масло. Изменением объема деталей при охлаждении и испарением масла пренебречь.

4. Два груза, первый некоторой массой m 1и второй массой m 2= 2 кг, неподвижно висят на двух легких пружинах с коэффициентами жесткости k 1= 100 Н/м и k 2= 400 Н/м (рис. 1).

Как изменится длина всей системы (расстояние от точки А крепления верхней пружины к опоре до точки В нижней пружины), если поменять местами пружины? Считать g=10 Н/кг.

5. В одинаковых сообщающихся цилиндрических сосудах с вертикальными стенками одинаковой высоты находится вода, причем ее уровень расположен на h 0= 10 см ниже верхнего края сосудов. При доливании в один из сосудов масла объемом V M = 12 см 3он оказался заполненным маслом до самого края. Определите площадь поперечного сечения сосуда S . Плотность масла ρ м= 800 кг/м 3, плотность воды ρ в= 1000 кг/м 3.

6. Сплошной пробковый шар плавает в сосуде с водой, погрузившись наполовину. Если к нему прикрепить медную деталь массой m м = 50 г, то он полностью уйдет под воду, не касаясь при этом стенок и дна сосуда. Определите массу пробкового шара. Плотность пробки ρ пр = 200 кг/м 3, плотность меди ρ м= 8900 кг/м 3.

7. Однородный стержень массой m = 100 кг и длиной L = 3 м нужно подвесить в горизонтальном положении на двух одинаковых тросах. При этом один трос крепится за край стержня, а второй нужно закрепить как можно ближе к середине стержня. Известно, что трос рассчитан на максимальную силу натяжения величиной T макс= 750 Н. На каком минимальном расстоянии от середины стержня можно закрепить второй трос? g = 10 Н/кг.

8. В стакан, нагретый до температуры t ст= 50 °C и имеющий теплоемкость С = 50 Дж/°С, наливают m в = 100 г холодной воды при температуре t 0= 0 °C. После установления теплового равновесия воду выливают, а стакан наполняют второй такой же порцией холодной воды.

Определите установившиеся температуры t 1и t 2первой и второй порций воды. Потерями теплоты пренебречь. Удельная теплоемкость воды с в= 4200 Дж/(кг∙°С).

9. В сосуде находится m в= 200 г теплой воды при температуре t в= 50 °C. Какую максимальную массу льда, взятого при температуре t л= -10 °C, можно расплавить, используя эту воду? Теплоемкостью сосуда и потерями теплоты пренебречь. Удельная теплоемкость воды с в= 4200 Дж/(кг ∙°С), удельная теплоемкость льда с л= 2100 Дж/(кг ∙°С), удельная теплота плавления льда λ л = 3,35∙10 5Дж/кг.

10. Электрический прибор подключен к сети с напряжением U = 220 В с помощью двух длинных алюминиевых проводов длиной l = 15 м и сечением S = 1 мм 2каждый. При этом напряжение на приборе равно U др,1= 215 В. Каким окажется напряжение на приборе, если алюминиевые провода заменить на медные такой же длины и той же площади поперечного сечения? Удельное сопротивление алюминия ρ ал= 0,26∙10 -7Ом∙м, удельное сопротивление меди ρ м= 0,17∙10 -7Ом∙м.

11. Двигатель ракеты, взлетевшей с поверхности земли вертикально вверх, работал в течение t 1= 20 с. Ракета, продолжая двигаться еще некоторое время, достигла максимальной высоты над землей Н = 1,5 км. Считая движение ракеты во время работы двигателя равноускоренным, найдите величину ускорения ракеты на этом этапе движения. Сопротивлением воздуха пренебречь, считать g = 10 м/с 2.

12. Теннисист отрабатывает технику удара у вертикальной стенки, находясь от нее на расстоянии l = 15 м. Какую минимальную скорость должен он сообщить мячу, чтобы тот после упругого удара о стенку вернулся к нему? Сопротивлением воздуха пренебречь, считать g = 10 м/с 2.