Борис Тарасов - Паскаль

Блез оказывается в числе тех немногих, кто смог разобраться в «уроках мрака», и единственным, кто полностью усваивает и развивает идеи и понятия Дезарга, дает им более простые и вместе с тем более общие обоснования, распространяющиеся на широкие классы следствий.

Это увлечение идеями Дезарга и отражается в «Опыте о конических сечениях». Сочинение Паскаля печатается в количестве пятидесяти экземпляров на одной стороне листа и имеет вид афиши, которую можно расклеивать прямо на улице, что нередко практикуется отдельными учеными, в том числе, как уже говорилось, самим Дезаргом. (В настоящее время осталось лишь два экземпляра: один хранится в национальной библиотеке Франции, а другой — в королевской библиотеке Ганновера, среди бумаг Лейбница.) Оно включает в себя три определения, три леммы, несколько теорем (без доказательств) и наименования глав предполагаемого обширного труда по коническим сечениям. Паскаль здесь отдает дань признательности своему учителю, называя Дезарга одним из великих умов своего времени, одним из лучших математиков и знатоков теории конических сечений. «Я хочу заявить, — пишет Паскаль, — что немногим мной найденным в этих вопросах я обязан его сочинениям и что я старался, насколько это было возможно, подражать его методу».

Тем не менее небольшой трактат Паскаля вполне самостоятелен и оригинален. Прежде всего это относится к третьей лемме, согласно которой во всяком шестиугольнике (его автор трактата называет «мистическим шестивершинником»), вписанном в эллипс, гиперболу или параболу, точки пересечения трех пар противоположных сторон лежат на одной прямой, называемой теперь прямой Паскаля. Если шесть произвольных точек конического сечения (например, эллипса, как показано на рисунке 1) принять за вершины шестиугольника и зануме-

Рис. 1.

ровать их, то противоположные стороны данного шестиугольника (1, 2) и (4, 5); (2, 3) и (5, 6); (3, 4) и (6, 1) пересекутся соответственно в точках Р, Q, R, которые лежат на одной прямой — прямой Паскаля. Третья лемма составляет знаменитую теорему Паскаля, которая вызывает восхищение у математиков и которую Дезарг называет «великой Паскалевой». Под именем теоремы Паскаля она и в будущем явится одной из основных теорем проективной геометрии. Блез понимает ее важность и намеревается в последующем на ее основе построить полную теорию конических сечений. По словам Мерсенна, он выводит из своей фундаментальной теоремы около четырехсот различных следствий. Вот одно из самых простых, но и, как пишет советский исследователь научного твор-

Рис. 2.

чества Паскаля С. Г. Гиндикин, самых важных следствий (см. рисунок 2): «Коническое сечение однозначно определяется любыми своими пятью точками. Действительно, пусть 1, 2, 3, 4, 5 — точки конического сечения и m — произвольная прямая, проходящая через (5). Тогда на m существует единственная точка (6) конического сечения, отличная от (5). В обозначениях теоремы Паскаля точка Р является точкой пересечения (1, 2) и (4, 5), Q — точка пересечения (2, 3) и m, R — точка пересечения (3, 4) и (Р, Q), a тогда (6) определится как точка пересечения (I, R) и m» 3 3 Гиндикин С. Г. Блез Паскаль. — «Квант», 1973, № 8, с. 9—10. .

О важности и продуктивности сформулированной шестнадцатилетним юношей теоремы пишет и французский исследователь его научного творчества П. Умберт: «Открыв Евклида с помощью кружочков и палочек, Паскаль с помощью шестиугольников вновь создавал Аполлония».

Пятнадцать лет спустя в своем послании «Знаменитейшей Парижской математической академии» Блез сообщает о подготовленном им «Полном труде о конических сечениях», который содержит положения Аполлония и многие другие результаты, полученные на основе открытой им в шестнадцать лет теоремы. Труд этот не опубликован, и рукопись его потеряна. Еще в 1675 году о ней смог познакомиться Лейбниц, находившийся в это время в Париже и внимательно относившийся к научному творчеству Паскаля. Лейбниц высоко оценил его геометрические сочинения, сделал ряд выписок из них и посоветовал владельцу рукописи, племяннику Блеза Этьену Перье, поскорее напечатать ее. Однако Этьен Перье не внял совету немецкого философа, и дальнейшая судьба рукописи неизвестна. Современный французский ученый Эмиль Пикар пишет по этому поводу, что «Трактат о конических сечениях» свидетельствует об изобретательской мощи великого математика, и его потеря навсегда останется достойной глубокого сожаления.

В дальнейшем развитии геометрии возобладает аналитический метод Декарта, и лишь в XIX веке найдут свое место продуктивные идеи Дезарга и Паскаля, когда возродятся проективные методы в трудах французских математиков Монжа, Шаля и особенно Понселе. Понселе доведет проективную геометрию до высокой степени совершенства, превратив ее в самостоятельную отрасль современной математики.

Появление «Опыта о конических сечениях» вызывает бурю восторга в кругу парижских математиков, признающих, что Блез Паскаль разрешил ряд вопросов лучше Аполлония. Мерсенн повсюду заявляет, что Паскаль-сын положил на лопатки всех, кто когда-либо занимался исследуемым предметом. Но на фоне всеобщего одобрения и восхищения выделяется сильный голос, упорно не желающий признавать свершившегося факта. Это голос Декарта. Когда Мерсенн сообщает ему о шестнадцатилетнем вундеркинде, снискавшем уважение у всех маститых ученых, знакомых с «Опытом...», то Декарт, который, по словам его биографа Байе, никогда и никого не хвалил, отвечает довольно холодно и обидчиво-язвительно, пытаясь скрыть свое удивление: «Я не нахожу ничего необыкновенного в том, что есть люди, доказывающие конические сечения проще Аполлония, но можно предложить другие теоремы относительно этих сечений, и шестнадцатилетний ребенок затруднился бы их разъяснить».

Когда же Декарт получает от Мерсенна экземпляр «Опыта...», то он, не прочитав и половины, решает, что «Новый Архимед» всего лишь навсего выученик Дезарга. И, даже узнав, что юный математик и сам воздает должное Дезаргу, Декарт тем не менее не мог успокоиться: ему хотелось верить, что автором сочинения является Этьен Паскаль, а не его сын; шестнадцатилетний мальчик, по его мнению, не мог его написать.

Что вызвало такое предубеждение у великого философа и ученого? Декарт довольно ревниво относился к работам в сходных областях исследования и иногда совершенно искренне считал их плагиатом своих собственных: у него была странная привычка, замечал Лейбниц, искажать труды своих соперников. К тому же Декарт нередко полагал, что ему принадлежит последнее слово в изучаемой науке. Так, например, в одной из своих физических работ он писал, что в видимом и ощущаемом мире нет такой вещи, которой бы он не объяснил, как бы подводя тем самым последнюю черту в сфере физики, (Заметим, кстати, что в дальнейшем в различных обстоятельствах Блезу также будут присущи черты горделивой непререкаемости в суждениях, которая пока еще не успела достаточно развиться: «Мы имеем несколько других задач и теорем и ряд следствий из предыдущих. Но я не доверяю моему малому опыту и способностям, что не позволяет мне идти дальше в своем изложении, прежде чем сведущие люди ознакомятся с этим и побудят меня затратить на это силы. А тогда, если будет сочтено, что дело заслуживает продолжения, мы попытаемся продвинуть его настолько, насколько Бог даст нам для этого силы» — такими словами заканчивал Паскаль свой «Опыт оконических сечениях».) Что же касается непосредственно Блеза, то, по замечанию известного литературного критика XIX века Сент-Бёва, Декарт относился к нему с беспокойной бдительностью охранителя собственных нрав, считая его опасным противником и возможным последователем. Думал ли тот действительно так, трудно сказать. Верно же то, что Паскаль в своей жизнедеятельности будет, как увидим, и последователем, а еще в большей степени противником Декарта. Уже в этой первой заочной встрече возникло напряжение, которому вроде неоткуда было взяться, если не считать целого ряда опосредований, приводящих к научной ссоре Декарта с Паскалем-старшим и Робервалем. В этом же соприкосновении выявились существенные особенности и кардинальные различия стиля их научного мышления. Конкретно-пространственная геометрия Паскаля, продолжающая традиции античных математиков, принципиально несводима к абстрактным формулам и уравнениям, что объясняется, по мнению современного историка науки Койре, самой структурой и своеобразием математического дарования Блеза: «Историки математики свидетельствуют, что имеется grosso modo 4 4 В общих чертах (итал.). два типа математического ума — геометры и алгебраисты. С одной стороны, те, кто может видеть в пространстве, «сильно напрягая, по словам Лейбница, свое воображение», кто способен провести в нем множество линий и отметить, не смешивая, их зависимости и соотношения. С другой стороны, те, как, например, Декарт, кого утомляет всякое усилие воображения и кто предпочитает прозрачную чистоту алгебраических формул. Для первых любая проблема решается с помощью построения, для вторых — путем системы уравнений. Для первых коническое сечение — явление в пространстве, а уравнение — лишь отдаленное и абстрактное представление этого явления; для вторых сущность кривой заключается именно в уравнении, а его пространственное выражение совершенно вторично, а иногда даже и бесполезно».