БСЭ БСЭ - Большая Советская Энциклопедия (ДО)

Последовательная формализация понятия Д. открывает возможность передачи многих «творческих» функций человека электронным вычислительным машинам. Но из этого не следует заключение о возможности сведе'ния всех содержательных аспектов понятия Д. к формальным — правила вывода, хотя они и имеют дело с формальными объектами (формулами), формулируются на содержательном языке, а все проблемы, касающиеся природы формальных исчислений в целом, ставятся и решаются чисто содержательными средствами (см. Метатеория ). Именно эти содержательные рассуждения (и содержательные Д.) составляют предмет самой теории Д.

Более того, оказалось (К. Гёдель , 1931), что задача полной и одновременно непротиворечивой формализации даже таких относительно простых математических теорий, как арифметика (теория чисел), в принципе неосуществима, так что в них всегда имеется некоторый «неформализуемый остаток» (см. также Аксиоматическая теория множеств ). Наконец, никакая формализация дедуктивных теорий не снимает проблемы их интерпретации, т. е. соотнесения с некоторой описываемой ими и внешней для них реальности (также, быть может, состоящей из объектов высокой степени абстракции), адекватность которого только и может быть в конечном счёте обоснованием истинности теории в целом. Естественно, что в рамках математической логики приобретает всё большее влияние та часть доктрины (альтернативной по отношению к гильбертовской концепции) математического интуиционизма (в значительной мере воспринятой представителями конструктивного направления ), согласно которой понятие строгого математического Д. (не говоря уже об общем понятии Д.) вообще не может быть исчерпано никаким «раз навсегда данным» формальным определением.

Ещё более решительный пересмотр представлений о сущности аксиоматико-дедуктивных методов предпринят в рамках так называемой ультраинтуиционистской программы. Ультраинтуиционизм, для которого, в частности, характерно стремление последовательного и неукоснительного соблюдения (в применении к дедуктивным наукам) достаточного основания принципа , с одной стороны, предлагает предельно широкое понимание содержательного (дедуктивного) Д., с другой — выдвигает концепцию формального Д., учитывающую как «формалистскую» схему Гильберта, так и её интуиционистскую критику, и в то же время настолько гибкую, что использование её позволяет надеяться на преодоление в проблемах обоснования математики и логики казавшихся ранее непреодолимыми ограничений, обусловленных результатами Гёделя.

О некоторых специальных видах и методах Д. см. Доказательство от противного , Косвенное доказательство , Опровержение логическое .

Лит.: Энгельс Ф., Анти-Дюринг, Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 20; Ленин В. И., Материализм и эмпириокритицизм, Полн. собр. соч., 5 изд., т. 18; Аристотель, Аналитики первая и вторая, пер. с греч., Л., 1952; Начала Евклида, пер. с греч. и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского, кн. 1—15, М.—Л., 1948—50; Бэкон Ф., Новый органон, пер. с англ., М.—Л., 1938; Милль Дж. С., Система логики силлогистической и индуктивной, пер. с англ., М., 1914; Гильберт Д., Основания геометрии, пер с нем., М.—Л., 1948; Рассел Б., Человеческое познание, пер. с англ., М., 1957; Тарский А., Введение в логику и методологию дедуктивных наук, пер. с англ., М., 1948; Гейтинг А., Интуиционизм, пер. с англ., М., 1965; Клини С. К., Введение в математику, пер. с англ., М., 1957; Пойа Д., Математика и правдоподобные рассуждения, пер. с англ., т. 1—2, М., 1957; Асмус В. Ф., Учение логики о доказательстве и опровержении, [М.], 1954; Старченко А. А., Логика в судебном исследовании, М., 1958.

Ю. А. Гастев.

Доказа'тельство от проти'вного(лат. reductio ad absurdum), вид доказательства , при котором «доказывание» некоторого суждения (тезиса доказательства) осуществляется через опровержение противоречащего ему суждения — антитезиса. Опровержение антитезиса при этом достигается установлением факта его несовместимости с каким-либо заведомо истинным суждением. Этой форме Д. от п. соответствует следующая схема доказательства: если В истинно и из А следует ложность В , то А — ложно. Другая, более общая форма Д. от п. — это доказательство путём опровержения (обоснования ложности) антитезиса по правилу: допустив А , мы вывели противоречие, следовательно — не- А . Здесь А может быть как утвердительным, так и отрицательным суждением, а вывод противоречия может пониматься либо как вывод утверждения о тождестве заведомо различных предметов, либо как вывод пары суждений В , не- В , либо как вывод конъюнкции этой пары, либо как вывод эквивалентности этой пары. Этим различным случаям соответствуют различные интерпретации понятий Д. от п. и «противоречие». Приём Д. от п. особенно важен в математике: многие отрицательные суждения математики не могут быть доказаны другим путём, кроме приведения к противоречию. Помимо указанных выше, существует иная — «парадоксальная» — форма Д. от п., применявшаяся уже в «Началах» Евклида: суждение А можно считать доказанным, если удастся показать, что А следует даже из допущения ложности А .

М. М. Новосёлов.

Доке'мбрий,древнейшие толщи земной коры и время, соответствующее их образованию и составляющее около 6/ 7геологической истории Земли. Геологическая история Д. долго оставалась непознанной, несмотря на то, что в породах Д. давно были обнаружены различные следы жизни. Палеонтологический метод, оправдавший себя при расчленении фанерозойских (последокембрийских) образований, здесь считался неприменимым. Для отдельных регионов давалось чисто местное расчленение разрезов Д., т.к. методика их межрегионального сопоставления отсутствовала. Лишь в 30-х гг. 20 в. в изучении стратиграфии и геохронологии Д. начали использоваться радиометрические методы (см. Геохронология ), а также были сделаны попытки сопоставления осадочных толщ Д. по строматолитам (постройки древних водорослей). Длительность Д., по современным данным, определяется от времени возникновения древнейших известных нам геологических образований с возрастом около 3500 млн. лет до начала кембрия (около 570 млн. лет назад). Т. о., продолжительность Д. составила более 2900 млн. лет. Более ранний период истории Земли (около 1 млрд. лет) пока ещё не доступен геологическому изучению.

Расчленение докембрия.Во 2-й половине 19 в. на основании общих историко-геологических данных, степени метаморфизма пород и др. признаков в Северной Америке было предложено расчленение Д. на архей, или археозой (выделен Дж. Дана в 1872), и протерозой (установлен Э. Эммонсом в 1888). Граница между ними, по современным представлениям, совпадает с крупной эпохой складчатости и гранитизации, имевшей место 2500—2700 млн. лет назад. В СССР протерозой обычно делится на нижний, средний и верхний (см. таблицу). Верхний протерозой нередко выделяют под названием «рифей» («инфракембрий», «синий») и подразделяют по составу органических остатков на 4 части. Верхнее подразделение рифея, относившееся ранее к так называемым переходным слоям от протерозоя к палеозою, обособляется под названием «венд» («юдомий», «эокембрий» и др.).