БСЭ БСЭ - Большая Советская Энциклопедия (МА)

Обзоры и энциклопедии. Виноградов И. М., Математика и научный прогресс, в книге: Ленин и современная наука, кн. 2, М., 1970; Математика. [Сборник статей], М. — Л., 1932 (Наука в СССР за 15 лет. 1917—1932); Математика в СССР за тридцать лет. 1917—1947. Сборник статей, М. — Л. 1948; Математика в СССР за сорок лет. 1917—1957. Сборник статей, т. 1, М., 1959; Weyl H., A Half-century of mathematics, «American Mathematical Monthly», 1951, v. 58, № 8, p. 523—53; Энциклопедия элементарной математики, кн. 1—5, М. — Л., 1951—66; Вебер Г. и Вельштейн И., Энциклопедия элементарной математики, перевод с немецкого, т. 1—3, 2 изд., Одесса, 1911—14; Enzykiopädie der mathematischen Wissenschaften, mit Einschiuss ihrer Anwendungen, Bd 1—6, Lpz., 1898—1934; тоже, 2 Aufl., Bd 1—, Lpz., 1950—; Encyclopedie des siences mathématiques pures et appliquées, t. 1—7, P. — Lpz., 1904—14; Mathematik, 6 Aufl., Lpz., 1971 (Kleine Enzykiopädie); Mathematisches Wörterbuch, 2 Aufl., Bd 1—2, В. — Lpz., 1962.

Матема'тики и меха'ники институ'тУральского научного центра АН СССР, советское научно-исследовательское учреждение; находится в городе Свердловске. Основан в 1961 как Свердловское отделение Математического института имени В. А. Стеклова АН СССР, с 1971 — в составе Уральского научного центра АН СССР. Основные направления исследований: развитие математической теории процессов управления; теоретические исследования в области алгебры, дифференциальных уравнений и теории функций; разработка и решение задач на ЭВМ; развитие методов нелинейной механики; разработка математических методов механики сплошной среды. Имеется аспирантура.

Н. Н. Красовский.

Матема'тики институ'тСибирского отделения АН СССР, советское научно-исследовательское учреждение; находится в городе Новосибирске. Основан в 1957. Задачи института — разработка важных проблем математики и методов её приложений. Основные направления исследований: алгебра и математическая логика, геометрия и топология, теория вероятностей, теория дифференциальных уравнений, теория функций и функциональный анализ, теоретическая физика, математическая экономика и теоретическая кибернетика. Имеется аспирантура. Издаются сборники трудов: «Алгебра и логика» (с 1962), «Оптимальное планирование» (с 1964), «Дискретный анализ» (с 1963).

А. И. Ширшов.

Математи'ческая инду'кция, весьма общий способ математических доказательств и определений. Индуктивные доказательства основаны на так называемом принципе М. и., являющемся одной из основных математических аксиом. Пусть, например, требуется доказать для любого натурального (целого положительного) числа n формулу:

1 + 3 + 5 + ... + (2 n - 1) = n 2 (1)

При n = 1 эта формула даёт 1 = 1 2. Чтобы доказать правильность формулы при любом n , допускают, что её уже удалось доказать для некоторого определённого числа N , то есть предполагают, что

1 + 3 + 5 + ... + (2 N - 1) = N 2 . (2)

Далее, опираясь на сделанное допущение, пытаются доказать правильность формулы (1) для числа на единицу большего, то есть для n = N + 1. В данном случае достаточно присоединить к сумме в левой части равенства (2) ещё одно слагаемое: (2 N + 1); тогда и правая часть равенства должна увеличиться на (2 N +1) и, следовательно,

1 + 3 + 5 + ... + (2 N — 1) + (2 N + 1) = N 2 + (2 N + 1) = ( N + 1) 2.

Но тот же результат получится, если в формуле (1) заменить n на N + 1.

Итак, из справедливости формулы (1) при n = N вытекает (каково бы ни было N ) её правильность и при n = N + 1. Но при n = 1 формула (1) верна, следовательно, она верна также и при n = 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 4 = 3 + 1, 5 = 4 + 1 и так далее. Так как последовательным прибавлением единицы можно получить (начиная с единицы) любое натуральное число, то формула (1) действительно верна при любом натуральном числе n . Как ни очевидна заключительная часть приведённого рассуждения, она опирается на некоторую аксиому, не сводимую только к общим законам логики, но выражающую одно из основных свойств натуральных чисел. Общая формулировка этой аксиомы такова.

Принцип М. и. Пусть: 1) число единица обладает свойством А ; 2) из того, что какое-либо натуральное число n обладает свойством А , вытекает, что и число n + 1 обладает свойством А . При таких условиях любое натуральное число обладает свойством А .

В разобранном выше примере свойство А числа n выражается так: «для числа n справедливо равенство (1)». Если принцип М. и. принят в качестве аксиомы, то каждое отдельное доказательство, опирающееся на этот принцип, следует рассматривать как чисто дедуктивное. При доказательстве [например, формулы (1)], основанном на этом принципе, не происходит заключения от частного к общему, так как одна из посылок (сам принцип М. и.) по меньшей мере столь же обща, как и заключение.

Принцип М. и., сформулированный выше, служит, как было показано, для доказательства математических теорем. Помимо этого, в математике употребляются ещё так называемые индуктивные определения. Таково, например, следующее определение членов u n геометрической прогрессии с первым членом а и знаменателем q :

1) u 1 = a ,

2) u n+1 = u nq .

Условия 1) и 2) однозначно определяют члены прогрессии u n для всех натуральных чисел n . Доказательство того, что это действительно так, может быть основано на принципе М. и.; в данном случае можно, однако, непосредственно получить выражение u n через n :

u n = aq n-1 .

Принцип М. и. можно заменить равносильными ему предложениями, например таким: если подмножество М множества всех натуральных чисел N содержит 1 и вместе с любым своим элементом m содержит и m + 1, то М = N .

Математи'ческая картогра'фия, картографическая дисциплина, изучающая теорию картографических проекций , преобразований их, методы изыскания проекций и способы рационального применения их на практике. Иногда в М. к. включают весь комплекс вопросов, относящихся к математическому обоснованию карт (компоновка карт, расчёт рамок и др.), а также способы и средства измерений на картах (см. Картометрия ). М. к. тесно связана с математикой, геодезией, со всеми картографическими и другими дисциплинами. На первых этапах (6 век до н. э. — 17 век н. э.) развития М. к. изобретались, исследовались и использовались отдельные картографические проекции, затем (18 век — начало 20 века) изучались также отдельные классы проекций и другие совокупности их. С середины 20 века успешно развивается теория создания новых методов получения различных (зачастую новых) классов или групп проекций, а также теория преобразований их. Методы современной М. к. механизируются и автоматизируются, в частности используются ЭВМ для различных целей.