БСЭ БСЭ - Большая Советская Энциклопедия (МН)

Теорема Штейница (1917): существует выпуклый М. с любой наперёд заданной сеткой. При этом сеткой выпуклого М. называют сетку, составленную его ребрами. Два М. принадлежат к одному и тому же типу, если топологически тождественны сетки их рёбер, т. е. если один из них отличается от другого лишь длиной своих рёбер и величиной углов между ними. Сетку рёбер выпуклого М. можно спроектировать на плоскость из внешней точки, весьма близкой к внутренней точке какой-либо его грани. Сама эта грань спроектируется тогда в виде внешнего выпуклого многоугольника, а все остальные — в виде малых выпуклых многоугольников, которые его заполняют, не налегая друг на друга, и смежны друг с другом целыми сторонами. Тип сетки рёбер М. при таком проектировании не меняется. Число m типов М. с данным числом n граней ограничено, а именно: если n = 4, 5, 6, 7, 8, ..., то m = 1, 2, 7, 34, 257,... На рис. даны сетки всех типов для n = 4, 5, 6.

Наиболее важны следующие специальные выпуклые М.

Правильные многогранники (тела Платона) — такие выпуклые М., все грани которых суть конгруэнтные правильные многоугольники. Все многогранные углы правильного М. правильные и равные. Как это следует уже из подсчёта суммы плоских углов при вершине, выпуклых правильных М. не больше пяти. Указанным ниже путём можно доказать, что существуют именно пять правильных М. (это доказал Евклид). Они — правильные тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр .

Куб и октаэдр дуальны, т. е. получаются друг из друга, если центры тяжести граней одного принять за вершины другого или обратно. Аналогично дуальны додекаэдр и икосаэдр. Тетраэдр дуален сам себе. Правильный додекаэдр получается из куба построением «крыш» на его гранях (способ Евклида), вершинами тетраэдра являются любые четыре вершины куба, попарно не смежные по ребру. Так получаются из куба все остальные правильные М.

В приведённой ниже таблице указаны радиус описанной сферы, радиус вписанной сферы и объём всех правильных М. (а — длина ребра М.).

Изоэдры и изогоны. Изоэдром (изогоном) называется такой выпуклый М., что группа его поворотов (первого и второго, т. е. с отражениями, родов) вокруг центра тяжести переводит любую его грань (вершину) в любую другую его грань (вершину). Каждому изоэдру (изогону) соответствует дуальный изогон (изоэдр). Если М. одновременно и изогон и изоэдр, то он правильный М. Комбинаторно различных изоэдров (изогонов) имеется 13 специальных типов и две бесконечные серии (призмы и антипризмы). Оказывается, что каждый из этих изоэдров может быть реализован так, что все его грани суть правильные многоугольники. Полученные так М. называются полуправильными многогранниками (телами Архимеда).

Радиус описанной сферы	Радиус вписанной сферы	Объём
Тетраэдр
Куб
Октаэдр
Додекаэдр
Икосаэдр

Параллелоэдры (выпуклые; найдены рус. учёным Е. С. Федоровым в 1881) — М., рассматриваемые как тела, параллельным перенесением которых можно заполнить всё бесконечное пространство так, чтобы они не входили друг в друга и не оставляли пустот между собой, т. е. образовать разбиение пространства. Таковы, например, куб или правильная 6-угольная призма. Топологически различных сеток рёбер параллелоэдров пять. Число их граней — 6, 8, 12, 12, 14. Для того чтобы М. был параллелоэдром, необходимо и достаточно, чтобы он был выпуклым М. одного из пяти указанных топологических типов и чтобы все грани его имели центры симметрии.

Если параллелоэдры разбиения смежны целыми гранями, разбиение называется нормальным. Центры параллелоэдров такого разбиения образуют решётку, т. е. совокупность всех точек с целыми координатами относительно какой-то, вообще говоря, не прямоугольной декартовой системы координат. Множество точек пространства, из которых каждая отстоит от некоторой данной точки О рассматриваемой решётки L не дальше, чем от всякой другой точки этой решётки, называется областью Дирихле (или областью Вороного) D o L точки О в решётке L. Область D o L является выпуклым М. с центром в точке О . Совокупность областей Дирихле всех точек произвольной решётки образует нормальное разбиение пространства. Существует замечательная теорема: произвольное (даже n -мерное) нормальное разбиение на параллелоэдры, в каждой из вершин которого сходится n + 1 параллелоэдр, может быть аффинным преобразованием превращено в разбиение Дирихле для некоторой решётки.

Всякое движение, переводящее в себя решётку L и оставляющее на месте её точку О , преобразует в себя область D o L и обратно. Группу всех таких движений называют голоэдрией решётки. Их всего семь: кубическая, ромбоэдрическая, квадратная (или тетрагональная), ортогональная (или ромбическая), моноклинная, триклинная и гексагональная.

Кристаллографические многогранники. Каждая из семи рассмотренных групп имеет подгруппы, всех различных таких групп и их подгрупп 32; их называют кристаллографическими классами. Пусть какой-нибудь кристаллографический класс есть подгруппа некоторой голоэдрии, тогда говорят, что он принадлежит этой голоэдрии (или входит в состав её сингонии), если этот класс не является подгруппой никакой голоэдрии, содержащейся в данной. Если взять плоскость, не проходящую через точку О , и подвергнуть её всем поворотам какого-нибудь кристаллографического класса, то полученные плоскости ограничивают либо некоторый изоэдр с центром в точке, либо бесконечное выпуклое призматическое тело, либо многогранный угол. Полученные тела называются простыми формами кристаллов, в первом случае замкнутыми, во втором и третьем — открытыми. Две простые формы считают одинаковыми, если они имеют один и тот же комбинаторный тип, порождены одним и тем же кристаллографическим классом и повороты этого класса одинаковым образом связаны с формой. Существует 30 различных в этом смысле замкнутых форм и 17 открытых, каждая из них имеет вполне определённое название (см. Кристаллы ) .