БСЭ БСЭ - Большая Советская Энциклопедия (ОТ)

Свойства бинарных О. Пусть R = < х , у >. Если для любого х верно xRx , то R называется рефлексивным (примеры: О. равенства чисел — каждое число равно самому себе, подобие треугольников и т.п.). Если для любого х xRy не имеет места (символически: ù xRy ), то R называется антирефлексивным, или иррефлексивным (например, О. перпендикулярности прямых — никакая прямая не перпендикулярна самой себе). Если для любых не равных между собой х и у одно из них находится в отношении R к другому (т. е. выполнено одно из трёх соотношений xRy , х = у или yRx ), то R называется связанным (например, О. <). Если для любых х и у из xRy следует yRx , то R называется симметричным (например, О. равенства = или О. неравенства ¹). Если для любых х и у из xRy и xR –1 y следует х = у (т. е. R и R –1выполняются одновременно лишь для равных между собой членов), то R называется антисимметричным (например, О. £ и ³ для любых объектов). Если для любых х и у из xRy следует ù xRy , то R называется асимметричным (таковы, например, О. < и >, поскольку никакой объект не больше и не меньше себя). Если для любых х , у и z из xRy и yRz следует xRz , то R называется транзитивным (таковы, например, О. = или <, но не ¹). Можно было бы определить и др. свойства бинарных О., но нетрудно показать, что уже через эти свойства посредством логических операций определяются все прочие.

Типы отношений. Значительная часть приводимых ниже типов О. уже встречалась выше в примерах. Сочетание свойств рефлексивности, симметричности и транзитивности приводит нас к важнейшему типу О. — это О. типа равенства ( тождества , эквивалентности ). Нетрудно показать, что любое такое О. индуцирует (определяет) разбиение множества, на котором оно определено, на непересекающиеся классы — т. н. классы эквивалентности: элементы, связанные данным О., попадают в общий класс, не связанные — в различные. Т. о., элементы, попавшие в общий класс, в известном смысле неразличимы, что и определяет важность этого типа О.

Лит.: Тарский А., Введение в логику и методологию дедуктивных наук, пер. с англ., М., 1948; Чёрч А., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960; Уемов А. И., Вещи, свойства и отношения, М., 1963; Шрейдер Ю. А., Равенство, сходство, порядок, М., 1971.

Ю. Л. Гастев.

Ото...(от греч. ús, род. падеж ōtós — ухо), часть сложных слов, указывающая на их отношение к уху, болезням уха (например, оториноларинголог, отосклероз).

Отображе'ние(матем.) множества А в множество В , соответствие, в силу которого каждому элементу х множества А соответствует определённый элемент у = f ( x ) множества В , называют образом элемента х (элемент х называют прообразом элемента у ). Иногда под О. понимают установление такого соответствия. Примерами О. могут служить параллельное проектирование одной плоскости на другую, стереографическая проекция сферы на плоскость. Географическая карта может рассматриваться как результат О. точек земной поверхности (или части её) на точки куска плоскости. Логически понятие «О.» совпадает с понятиями функция , оператор , преобразование . Как средство исследования О. даёт возможность заменять изучение соотношений между элементами множества А изучением соотношений между элементами множества В , что в ряде случаев может оказаться проще. Так, параллельным проектированием можно отобразить параллелограмм в квадрат, центральным проектированием – любую линию второго порядка в окружность и т.д. Многие свойства остаются неизменными (инвариантными) при О. Так, при параллельном проектировании сохраняется параллельность прямых, отношение отрезков длин параллельных прямых и т.д.

Если каждый элемент множества В является образом элемента множества А , то О. называется отображением А на множество В . Если каждый элемент из В имеет один и только один прообраз, то О. называется взаимно однозначным. О. называется непрерывным, если близкие элементы множества А переходят в близкие элементы множества В . Точнее это означает, что если элементы x 1, x 2,..., х п ,... сходятся к x , то элементы f ( x 1), f ( x 2),..., f ( хn ),... сходятся к f ( x ).

Каждой части Т множества А соответствует часть f ( T ) множества В , состоящая из образов точек этой части; она называется образом Т . Если все точки части Q множества В являются образами точек из А , то совокупность всех точек х из А таких, что f ( x ) лежит в Q , называются полным прообразом Q и обозначается f –1( Q ). При взаимно однозначном О. полный прообраз каждого элемента множества В состоит из одного элемента множества А .

Взаимно однозначное О. имеет обратное О., сопоставляющее элементу у из В его прообраз f –1( y ). Взаимно однозначное О. называется топологическим, или гомеоморфным, если как оно, так и обратное ему О. непрерывны. При гомеоморфных О. сохраняются лишь наиболее общие свойства фигур, как, например, связность,, ориентируемость, размерность и др. Так, квадрат и круг гомеоморфны, но квадрат и куб не гомеоморфны. Свойства фигур, не изменяющиеся при гомеоморфных О., изучаются в топологии. Если в множествах А и В имеются некоторые соотношения и если эти соотношения сохраняются при О., то О. называется изоморфным относительно этих соотношений (см. Изоморфизм ).

В математическом анализе большую роль играют О. одного множества функций на другое. Например, дифференцирование может рассматриваться как О., при котором функции f ( x ) соответствует функция f ’ I ( x ). Среди таких О. наиболее простыми являются О., при которых сумма функций переходит в сумму, а при умножении функции на число образ её умножается на то же число. Такие О. называются линейными, их изучают в функциональном анализе . См. также Линейное преобразование , Операторов теория .

В ряде случаев в множествах А и В можно ввести координаты, т. е. задавать каждую точку этих множеств системой чисел ( x 1 ,..., х п ) и ( y 1 ,..., у п ). Тогда О. задаётся системой функций у к = f k ( x 1 ,..., x n ). 1 £ k £ m . В большинстве встречающихся на практике случаев функции f 1 , f 2 ,..., f m дифференцируемые: тогда О. называется дифференцируемым. Если О. дифференцируемо, m= n и якобиан О. отличен от нуля, то О. взаимно однозначно.