Линдон ЛАРУШ - ВЫ НА САМОМ ДЕЛЕ ХОТЕЛИ БЫ ЗНАТЬ ВСЕ ОБ ЭКОНОМИКЕ?

Принцип наименьшего действия настолько важен для экономической науки, что уже сейчас необходимо сказать несколько слов о разработке связанных с ним геометрических принципов.

В сравнении со всеми известными периодами истории темпы развития физики в Европе в период между XV и серединой XIX века были на несколько порядков выше, чем в другие эпохи или в других областях культуры. Если выделять роль одного ученого, то следует отметить, что без работ, выполненных кардиналом Николаем Кузанским (1401-1463) в таких его трудах, как «Ученое незнание» («De Docta Ignorantia»), были бы невозможны все достижения современной математической физики. Он сформулировал гипотезу строения солнечной системы, которая в доработанной форме была использована и доказана Иоганном Кеплером (1571-1630), основателем современной математической физики [4]. Одним из тех, кто оказал непосредственное влияние на открытие Лейбницем принципа наименьшего действия, был Николай Кузанский, который совершил революцию в геометрии путем пересмотра решения задачи о квадратуре круга, предложенного Архимедом (297-212 до н.э.). Он объявил, что открыл геометрический метод, более совершенный, чем был у Архимеда, и дал ему название принцип минимума-максимума. Сейчас он известен как изопериметрическая теорема топологии. Это открытие и послужило основой для лейбницева принципа наименьшего действия как ключевого в оценках технологии. То же самое открытие в более разработанной форме было предложено Карлом Гауссом (1777-1855), Лежёном Дирихле (1805-1859) и Бернхардом Риманом (1826-1866) и послужило базисом для метода экономического анализа Ларуша-Римана, описанию которого и посвящена эта книга.

До появления в Египте тринадцати книг Эвклида «Элементы» классическая греческая геометрия была тем, что сейчас называют синтетической геометрией. Эта форма геометрии исключает любые аксиомы, постулаты и формально-дедуктивные методы доказательств, связанные с теоремами Эвклида. Единственной самоочевидной формой существования в синтетической геометрии является круговое действие; при этом определение прямой линии и точки выводится из складывания круга относительно самого себя. Только при помощи кругового действия, а также прямой и точки, определенных таким образом, должна строиться любая геометрическая фигура; указанных трёх элементов достаточно для любого построения. Кузанский вновь вернулся к тому, что круговое действие является самоочевидной формой существования в видимом пространстве. Это и было его изопериметрическим доказательством, которое коренным образом изменило европейскую геометрию таких его последователей, как Лука Пачоли (1450-1520) и соратника Пачоли Леонардо да Винчи. Работы Николая Кузанского, Пачоли, Леонардо, последователей Леонардо Альбрехта Дюрера (1471-1528) и школы Рафаэля (Рафаэль Санти, 1483-1520) стали основой для будущих работ Кеплера, Жерара Дезарга (1591-1661), Пьера Ферма (1601-1665) и Блеза Паскаля (1623-1662), всех прямых или косвенных предшественников Лейбница. Работы Гаусса, Дирихле и Римана основаны на том же геометрическом методе [5].

Отличительной чертой геометрических работ Пачоли и Леонардо было господство принципа пяти платоновых фигур, сформулированного Платоном (ок. 427-347 до н.э.) в философском диалоге «Тимей» [6]. Он содержит доказательство того, что в видимом («эвклидовом») пространстве только цять видов правильных многоугольников могут быть построены методами синтетической геометрии. Это: 1) тетраэдр, 2) куб, 3) октаэдр, 4) 12-сторонний додекаэдр и 5) 20-сторонний икосаэдр. 1), 3) и 5) имеют грани, которые являются равносторонними треугольниками; додекаэдр имеет грани, являющиеся правильными пятиугольниками. Пачоли выстроил доказательство этой теоремы в своей работе «Божественная пропорция» («Divine Proportione», 1494). Более строгое доказательство было дано Леонардом Эйлером (1707-1783). Это доказательство занимало центральное место среди достижений Эйлера в области топологии, которые были продолжением аналитических положений Лейбница. В этой работе с легкостью доказано, что каждая из оставшихся четырех фигур Платона может быть получена из додекаэдра. На основании этого было доказано, что Золотое сечение, позволяющее геометрически строить правильный пятиугольник или додекаэдр, характеризует уникальность пяти платоновых тел.

Конструкция афинского Акрополя является наглядной демонстрацией того факта, что современники Платона и предшественники древнегреческих строителей использовали синтетическую геометрию, основанную на Золотом сечении. Сравнение работ Альбрехта Дюрера с гармоническим сечением, использованным при построении афинского Акрополя, позволяет также прийти к выводу, что древние греки понимали принцип, впоследствии вновь открытый Пачоли и Леонардо да Винчи, который гласит, что процессы в живой природе отличаются геометрически от процессов в неживой природе тем, что морфология роста и определяемые ростом функции в живой природе являются его самоподобными моделями, причем коэффициент подобия гармонически сообразуется с Золотым сечением.

Несомненно, именно поэтому различные культы стремились обнаружить мистические свойства в пятиугольнике и в Золотом сечении. Однако во всем этом нет ничего мистического, если, к примеру, вспомнить соответствующие работы Гаусса и Римана. До того, как эта книга будет прочитана до конца, читатель сможет усвоить основы предмета и понять их необходимость для экономической науки, свободной от любого рода мистификаций. В данном разделе важно рассмотреть только некоторые основные положения, непосредственно касающиеся открытий Лейбница в экономической науке.

Рост в соответствии с рядом Фибоначчи, в котором каждое следующее число является суммой двух предыдущих (1, 2, 3, 5, 8, ...). На простом примере проиллюстрировано то, что каждая следующая пара ( X Y ) существует на протяжении двух поколений и порождает одну пару наследников на протяжении существования одного поколения. Каждая из этих пар живет два поколения и погибает после рождения другой пары наследников. Если плюс ко всему каждая пара наследников состоит с представителей мужского и женского пола, которые в свою очередь рождают еще два поколения наследников, тогда рост этой группы соответствует ряду Фибоначчи.

Прежде всего, значимость принципа Золотого сечения для морфологии процессов, связанных с живым миром, становится понятной, когда обнаруживается, почему ряд Фибоначчи (Леонардо Пизанский, которому было около 30 лет, когда в 1262 году он написал свой труд «Книга абака» («Liber Abaci») сходится к величинам, определенным по правилу Золотого сечения. Ряд Фибоначчи является геометрическим рядом (геометрически определенным рядом целых чисел), который точно оценивает рост популяции, в том числе размножение живых клеток. По мере того, как значения в ряду достигают относительно больших величин, их отношение быстро сходится к соотношению Золотого сечения. Достаточно провести несложное исследование, чтобы подтвердить открытия Пачоли и да Винчи, сделанные на примерах растений. Работы Леонардо по исследованию анатомии человека, лошади и т.д. были по сути научным исследованием тех же самых принципов Золотого сечения [7]. Не только пропорции человеческого тела, но и, к примеру, динамика изменения его формы определяются принципами Золотого сечения.