Авторов Коллектив - Философия Науки. Хрестоматия

H.И. Лобачевский родился в Нижнем Новгороде в семье бедного чиновника. В 1807 году поступает в Казанский университет, по окончании которого утвержден магистром. В 1816 году утвержден в звании экстраординарного профессора математических наук. В стенах Казанского университета читает лекции по «чистой математике», физике и астрономии. С 1827 по 1846 г. — ректор этого университета.

Лобачевский — автор неевклидовой геометрии, датой рождения которой считают 11 февраля 1826 года.

Гениальное открытие, основанное на решении проблемы пятого постулата Евклида, произвело подлинную революцию в науке, определило пути ее развития не на годы, а на века. Однако «воображаемая геометрия», как называл свою геометрию Лобачевский, не была принята его современниками и лишь после его смерти принесла ему бессмертную славу. Настоящим подвигом Лобачевского, его научным завещанием, которое он, ослепший и больной, диктует своим ученикам за год до смерти, стала работа, где кратко и, по мере возможности, доступно изложена вторая часть его геометрической системы, названная им «Пангеометрия». Лобачевский был не только геометром, но и математиком широкого профиля. Ему принадлежит ряд работ фундаментального характера в области алгебры и математического анализа. Во многих его работах по математике и физике проявились его материалистические воззрения.

Многое сделано Лобачевским и в области педагогической практики, математического образования, в воспитании гражданственности и высокой нравственности.

Б.Л. Яшин

Фрагменты текстов печатаются по работам:

I. Лобачевский Н.И. Пангеометрия // Лобачевский Н.И. Полное собрание сочинений Т 3 М.; Л., 1951.

2. Лобачевский Н.И. Избранные труды по геометрии. М.;Л., 1956.

3. Лобачевский НИ. Конспекты по преподаванию чистой математики в Казанском университете //

Модзалевский Л.Б. Материалы для биографии Н.И.Лобачевского М.; Л., 1948.

Точные науки отличаются тем, что в начале их полагаются те понятия, откуда производится все учение силою нашего суждения. Основания физики бывают достаточные ее предположения; в чистой математике они должны быть несомнительные для нас истины, первые наши понятия о природе вещей, которые, будучи раз приобретены, сохраняются навсегда, которые неразлучны с каждым умственным представлением и служат первым основанием всякого суждения о вещах: таковы-то должны быть и основания геометрии. Далее, начальные понятия применяются прямо к природе и тем самым отличаются от составных, которые необходимо требуют существования других, откуда бы они происходили. Поверхности и линии не существуют в природе, а только в воображении: они предполагают, следовательно, свойство тел, познание которых должно родить в нас понятия о поверхностях и линиях. Никто до сих пор не предпринимал труда восходить к сим источникам, и основания геометрии остаются темными; а после этого не мудрено, что в ней и многое не выдержит строгого разбора. <...> (3, с. 177)

Здесь место говорить о понятиях, которые должны быть положены в основания математических наук, потому что решение сего вопроса всего важнее для геометрии. То неоспоримо, что мы всеми нашими понятиями о телах одолжены чувствам. Подтверждается истина сего и тем, что там останавливается наше суждение, где перестают руководствовать нас чувства, и что мы отвлекаем от тел и такие понятия, к которым наклоняют нас чувства; хотя существо вещей инаково. Пример тому прямые, кривые линии и поверхности, которых в телах природы нет; между тем воображение владеет сими идеалами, почерпнутыми в самом недостатке чувств. Посему все наши познания, которым из природы почерпнутые понятия послужили основанием, справедливы относительно только к нашим чувствам. Эго и составляет однако ж единственную цель математических наук, покуда они остаются математическими, то есть, покуда идет дело о счете и числах. Отсюда надобно вывести то заключение, что в основание математических наук могут быть приняты все понятия, каковы бы они ни были, приобретаемые из природы, и что математика на сих основаниях по справедливости может назваться наукою точною. <...> (3, с. 203-204)

Понятия, на которых основывают начала геометрии, недостаточны, чтоб отсюда вывести доказательство теоремы: сумма трех углов прямолинейного треугольника равна двум прямым; теорема, в справедливости которой никто до сих пор не сомневался, потому что не встречают никакого противоречия в заключениях, которые отсюда выводятся, и потому что измерение углов в прямолинейных треугольниках согласуется в пределах ошибок самых точных измерений с этой теоремой. Недостаточность начальных понятий для доказательства приведенной теоремы принудила геометров допускать прямо или косвенно вспомогательные положения, которые как ни просты кажутся, тем не менее произвольны и следовательно допущены быть не могут. Так, например, принимают: что круг с бесконечно великим полупоперечником переходит в прямую линию, а сфера с бесконечно великим полупоперечником — в плоскость; что углы прямолинейного треугольника зависят только от содержания (отношения) боков, но не от самых боков, или наконец, как это обыкновенно принимают в началах геометрии, что из данной точки в плоскости не можно провести более одной прямой параллельной с данной прямою в той же плоскости, тогда как все другие прямые, проведенные из той же точки и в той же плоскости, должны необходимо по достаточном продолжении пересекать данную прямую. Под линиею параллельной другой разумеют прямую линию, которая сколько бы не продолжалась в обе стороны, никогда не встречает ту, с которой она параллельна. Это определение само по себе недостаточно, потому что оно не указывает на единственную линию. То же можно сказать о большей части определений, даваемых в началах геометрии, потому что эти определения не только не указывают на происхождение геометрической величины, которую хотят определить, но даже не доказывают, что такие величины существовать могут. <...> Вместо того, чтобы начинать геометрию прямой линиею и плоскостью, как это делают обыкновенно, я предпочел начать сферой и кругом, которых определение не подлежит упреку в неполноте, потому что в этих определениях заключается способ каким образом эти величины происходят. Потом я определяю плоскость, как поверхность, где пересекаются равные сферы, описанные около двух постоянных точек. Наконец определяю прямую линию, как пересечение равных кругов в плоскости, описанных около двух постоянных точек той же плоскости. Допустив такие определения, вся теория прямых и плоскостей перпендикулярных может быть изложена строго с легкостью и краткостью. Прямую, проведенную из данной точки в плоскости, я называю параллельною к данной прямой в той же плоскости, как скоро она составляет границу между теми прямыми, проведенными из той же точки в той же плоскости, которые пересекают данную прямую по достаточному продолжению, и тех, которые не пересекают, сколько бы ни продолжались. Ту сторону, в которой пересечение происходит, я называю стороною параллельности. Я издал полную теорию параллельных под заглавием «Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien. Berlin 1840. In der Finkeschen Buchhandlung».