Авторов Коллектив - Философия Науки. Хрестоматия

Диалектический характер отражения действительности в математических абстракциях раскрывает сложность самого процесса познания, их объективное содержание.

Для идеалистического истолкования математики характерно именно отрицание объективного содержания математических абстракций, стремление представить понятия математики как произвольные конструкции человеческого разума (или интуиции), как априорные, независимые от действительности и от человеческого опыта построения. Так, например, создатель теории трансфинитных чисел Г. Кантор говорил: «...математика при развитии своих идей должна считаться единственно лишь с имманентной реальностью своих понятий... Сущность математики заключается именно в ее свободе». Но «свобода» математики относительна. Известный французский математик Анри Пуанкаре писал: «...то, что мы называем объективной реальностью, в конечном анализе есть то, что обще нескольким мыслящим существам и могло бы быть обще всем; этой общей стороной, как мы увидим, может быть только гармония, выражающаяся математическими законами.

Следовательно, эта-то гармония и есть единственная объективная реальность, единственная истина, которой мы можем достигнуть». Таким образом, А.Пуанкаре дает повод так трактовать его высказывание, будто бы он видит ценность научных теорий не в том, насколько глубоко и правильно отображают они реальную действительность, а в том, насколько они удобны. Такой ход мыслей Пуанкаре привел его к агностическим выводам: «...не только наука не может открыть нам природу вещей; ничто не в силах открыть нам ее». (С. 14-15)

Математика помогает современной физике создать более точную научную картину мира, объяснить полученные результаты, способствует целенаправленной постановке экспериментов, поэтому математическая форма выражения законов в современной физике является наиболее плодотворной. Тем не менее в физике, как и в естественных науках вообще, математика в известном смысле играет подсобную роль, ибо она не может выразить всего качественного разнообразия связей действительности. Анализ своеобразия данного (физического, химического, биологического и т.п.) процесса дает лишь качественный метод той науки, которая изучает этот процесс. В то же время, выражая общее, методы математики, не претендуя на раскрытие особенного в существе этих процессов, оказывают огромную помощь в познании. При изучении все более усложняющихся систем роль математических методов различна, ибо чем выше форма движения, изучаемая данной наукой, тем больше удельный вес ее специфического метода, способного раскрыть differentia specifica [«характерные особенности» (лат.). — Peд.] объективных процессов, т.е. вместе с возрастанием математизации знания растет и роль качественных оценок, присущих данной отрасли науки.

Какие же методы наиболее широко применяются в современной физике? Прежде всего необходимо отметить метод математической аналогии, отражающей материальное единство мира, метод математической гипотезы, а также метод математического моделирования сложных систем. С развитием физики математические методы переросли рамки лишь подсобного инструмента для описания и стали средством построения физических теорий.

Для выражения количественных отношений и качественных характеристик, присущих новым физическим закономерностям, требуется дальнейшее развитие математического аппарата. Проникновение в сущность процессов объективного мира приводит к открытию новых количественных соотношений между физическими величинами, что открывает новые области математического исследования и способствует все более адекватному отражению сущности и количественных отношений и качественных свойств объектов математикой. В результате роль математики для изучения физических закономерностей возрастает, а границы применения математики в физике расширяются.

Математика не только дает физике более точный язык для выражения уже приобретенных знаний, представляя абстрактно-всеобщие характеристики, но и позволяет предвидеть существование ранее неизвестных характеристик материальных процессов. Эго происходит именно потому, что математика обладает относительной самостоятельностью по отношению к физике. Применение ее может вызвать к жизни новые понятия, физическая интерпретация которых будит мысль ученых, способствует открытию новых явлений природы.

Относительная самостоятельность математики часто проявляется в разработке такого математического аппарата, который длительное время не находит себе применения. Так, например, случилось с теорией групп. Любопытно, что в 1910 г. известный физик Джеймс Джинс при пересмотре программы по математике в Принстонском университете сказал: «Вполне можно выбросить теорию групп; этот предмет никогда не найдет применения в физике». Но, как теперь хорошо известно, в современной теоретической физике теория групп занимает одно из центральных мест и, по выражению крупнейшего американского физика-теоретика Ф. Дайсона, «в настоящее время царит в мыслях тех, кто занимается исследованием фундаментальных частиц...». Математика является орудием в поисках нового. Так, например, целый ряд открытий в физике элементарных частиц был предсказан физиками-теоретиками на основе методов математической физики.

Единство количественных и качественных определенностей, присущих предметам и процессам объективного мира и находящих все более полное отражение в математическом аппарате современной физики, является одной из основ ее выдающихся успехов в познании законов природы.

Характерной чертой современной математики является ее тесная связь с логикой, что находит свое выражение в существовании особой науки — математической логики, роль которой с развитием кибернетики, информатики и вычислительной техники неуклонно возрастает.

Для физика вид полученной формулы многое говорит о сущности процесса. Являясь функцией физических величин, описывающих процесс, формула дает возможность предсказать его развитие. Но при выводе формулы часто делается ряд допущений, что ограничивает круг задач и область параметров. Иногда начальные уравнения бывают так сложны и громоздки, что можно рассмотреть только предельные случаи или задача не решается совсем. Здесь на помощь приходят численные методы, которые получают все большее развитие в связи с применением быстродействующих электронных счетных машин. Сами численные методы нагляднее и естественнее, чем абстрактные математические преобразования. Они сводятся к выполнению определенных простых арифметических и логических операций и поэтому очень удобны для программирования, а значит, для применения счетно-решающих устройств. Эти машины дают возможность не только решать задачи, но и исследовать их. (С. 16-18)