Нурали Латыпов - Прокачай мозг методом знатоков «Что? Где? Когда?»

А. Трушечкин [35] А. С. Трушечкин, доцент кафедры № 28 (Системный анализ) НИЯУ МИФИ. . Общепринятый ответ на этот парадокс – что «невероятное» не означает «невозможное». Невероятное событие – вероятность которого равна нулю, невозможное – которое не может произойти. На это можно возразить: «Как же? Согласно исходным идеям теории вероятностей, если вероятность равна нулю, то событие и есть невозможное!»

Тогда тут, пожалуй, можно разобрать подробнее, как мы делаем вывод о том, что вероятность попадания в точку равно нулю. Здесь речь идёт о геометрической вероятности. Предположим для простоты, что мишень ограниченна: например, это круг единичной площади, и мы стреляем по нему безразмерными пулями. Тогда вероятность попадания в произвольную область этого круга равна площади этой области. Площадь точки равна нулю. Почему? Ответ: по определению (из теории меры) множество имеет площадь ноль, если его можно накрыть множеством сколь угодно малой площади. Для точки можно это сделать. Например, рассмотреть последовательность маленьких кружков с центрами в этой точке и радиусами, стремящимися к нулю. Вероятность попадания в кружок с уменьшением его радиуса уменьшается, но не ноль. То есть множество нулевой площади определяется не непосредственно, а как бы итеративно, путём приближения множествами уменьшающейся площади. Поэтому и утверждение о том, что вероятность попадания в точку равна нулю, можно воспринимать так же: здесь не чистый ноль, а бесконечно малая последовательность чисел. Попасть в точку можно, но вероятность исчезающе мала.

Таким образом, в этих рассуждениях всплывает на поверхность то, что точка – это идеализация очень маленького множества (конец обсуждения)

Так что, любезный наш читатель, зря старался А. Н. Колмогоров?

Парадокс неожиданности. Однажды в воскресенье начальник тюрьмы вызвал преступника, приговорённого к казни, и сообщил ему: «Вас казнят на следующей неделе в полдень. День казни станет для вас сюрпризом, вы узнаете о нём только когда палач в полдень войдёт к вам в камеру». Начальник тюрьмы был честнейшим человеком и никогда не врал. Заключённый подумал над его словами и улыбнулся: «Вы не сможете казнить меня, если хотите выполнить свои обещания!»

Тем не менее, начальник тюрьмы выполнил свои обещания, и узник был казнён неожиданно для него, как и было обещано! Как это возможно?

«Никто не может изгнать нас из рая, созданного нам Кантором!» – заявил Давид Гильберт по поводу теории множеств Георга Кантора. Таково было чувство восторга от новой «игрушки» у математиков того времени. В 1873 году Кантор ввел понятие множества. Первоначально новая теория помогла решить ряд проблем. Однако очень скоро в ней обнаружились противоречия.

Первое противоречие возникло благодаря введению и анализу самого большого множества из всех: множества всех множеств. Простейший вопрос «Существует ли множество всех множеств?» тут же приводит к парадоксу. Для этого надо напомнить, что в теории множеств разрешима процедура включения одного множества в состав другого или «взятие множества от множества». (Это вам ничего не напоминает? Правильно – вездесущую рекурсию!)

Можно включать какие угодно множества в состав одного – их объединяющего, до тех пор пока все множества не исчерпаются. Тогда мы получим сверхмножество, которое включает в себя все остальные множества. Все! Но… не все! Само сверхмножество (множество всех множеств) оказалось не включённым! Ведь его вначале не было, а теперь оно появилось. Ну что же, включим теперь и его. Но тогда появляется новое сверхмножество, которого только что ещё не было. Тогда и его включим, и так до бесконечности! То есть множество всех множеств и существует, и не существует одновременно!

Причиной парадокса является возможность быть множеству элементом самого себя. Можно конечно ограничить эту возможность, но тогда исчезнут многие очень полезные возможности теории множеств. Лучше локализовать проблему, и для этого разделить все множества на два типа, те, которые содержат себя в качестве своего элемента, и те, которые не содержат…

В 1901 году Бертран Рассел в письме коллеге изложил мысль, которая в популярной форме известна как «Парадокс брадобрея»: «В одной военной части был брадобрей. Ему было разрешено под угрозой смертной казни брить только тех военнослужащих, которые не бреются сами. Но вот беда – сам брадобрей тоже был на службе. Мог ли он в таком случае побриться сам?»

Если он себя побреет, то окажется тем, кого ему брить категорически запрещено, а если не побреет, то окажется среди тех, кого брить ему можно!

Словом, в теории множеств выявилось много противоречий [36] См. например: И. Я Ященко. Парадоксы теории множеств. – М.: Московский центр непрерывного математического образования, 2002. , а на их устранение потратили огромное количество усилий. Собственно, как и в случае с математическим анализом, который первоначально был противоречив и только трудами титанов – Коши, Вейерштрасс, Гейне – приведён в образцовое состояние. В условно образцовое… Ибо все противоречия математического анализа были упрятаны в его определения, совмещающие в себе невозможное. Достаточно вспомнить бесконечно малые и бесконечно большие величины, которые «куда-то стремятся, но никогда своего предела не достигают». При этом само стремление к пределу происходит вне времени, что невозможно само по себе – в природе такое не наблюдается.

Сколько яблок на рисунке? [37] Этот парадокс публикуется впервые, равно как и следующий за ним «детский» парадокс.

В математике имеется огромное число парадоксов и противоречий. Никто даже не знает сколько – так велика математика! Кстати, это обстоятельство ничуть не мешает нам её любить!

Тем нашим читателям, у кого подрастают дети, ещё предстоит хлебнуть из-за этой «парадоксальности»:

– Папа, существует ли самое большое число?

– Да, существует? – папа пытается отделаться от навязчивого почемучки.

– А что будет, если к нему прибавить единицу?

Очевидно, что ответ неудовлетворителен. Отец в затруднении.

– Нет, Не существует. Так как натуральный ряд стремится к бесконечности! – папа пытается продемонстрировать образованность.

– А можно это несуществующее число, ну, эту бесконечность, обозначить?

– Да, можно.

– А если отнять от этого не существующего числа единицу, мы получим существующее число?