Роман Бабкин - Действуй, мозг! Квантовая модель разума

Иррациональные числа были известны задолго до Декарта (скажем, число π ).

Надо сказать, что большинству математиков они не нравились (при попытке их уточнения – попробуйте, например, извлечь квадратный корень из 2 или из 3 – выползает «некрасивая» десятичная дробь с длинным-предлинным бесконечным хвостом). Некоторые даже не считали их числами.

Рене Декарт покончил с этой своеобразной дискриминацией, расширив теоретическое представление о числе. В «Геометрии» он фактически объявил то, что спустя несколько десятилетий сформулировал Ньютон: число – отношение одной величины к другой.

В результате этого отношения могут получаться целые, дробные, иррациональные и даже отрицательные значения.

Важно не это, а то, что за каждым числом стоит некий смысл (скажем, π является постоянным значением отношения длины окружности к её диаметру; или, например, в медицине бессмысленно подсчитывать количество больных на данной территории, но полезно выяснить отношение больные/здоровые, больные/всё население и т.д.).

Только за одно это толкование понятия «число» мы, благодарные потомки, наставили бы Рене Декарту памятников. Но математику этого было мало: он стал рассуждать дальше.

Декарт задумался: насколько вообще допустимо совмещать геометрию и алгебру – это и вправду важно на практике или просто отвлечённая игра ума? получающиеся в координатной сетке точки пересечения объектов, как и сами объекты, реальны? или они, поскольку заданы абстрактными комбинациями цифр, суть умозрительные конструкции, часть из которых хоть и имеют какой-то смысл, но большинство, как почти все иррациональные числа, бесконечно непостижимы?

Поясним суть проблемы на нашем примере.

Возьмём параболу, заданную функцией x 2= y , и пересекающуюся с ней прямую, заданную функцией y = 1. По методу Декарта, составим систему уравнений и найдём корни: x 1= —1, x 2 = 1. Получим координаты двух точек пересечения для данных объектов: (—1; 1), (1; 1).

Аналогичные операции проделаем для каждой другой пары параболы и прямой – получим соответствующие значения координат.

Заметим, что значения всех функций в точках пересечения объектов будут всегда положительными. Т.е. y – строго положительное число.

Обобщая, можно сказать, что совокупность уравнений, отражающих функции, есть правила, по которым строятся реальные (в том смысле, что допустимо создать их в физической реальности: в самом простом случае – нарисовать на бумаге) геометрические объекты. А совокупность числовых координат локусов пересечения объектов есть точки – тоже реальные (их можно вычислить по правилу) корни уравнений (см. рис. 8).

Пока вроде бы ничего сложного: всё яснее ясного.

Но Декарт решил усложнить себе жизнь и перевернуть параболу «вверх ногами» – рассмотреть зеркальное отображение объекта, заданного функцией x 2= y .

Или, иначе говоря, математик исследовал, в контексте приведённого выше обобщения, функцию x 2= ƒ, где ƒ – это строго отрицательное число.

Вероятно, идея пришла к нему из оптики, которой учёный активно занимался. А, может, его осенило, когда он смотрелся в зеркало: ведь «мнимое изображение», несмотря на всю условность своего существования, чем-то да является.

Как бы там ни было, перевёрнутая «вверх ногами» парабола – очень странный объект. Реальна ли описывающая его функция?

По методу Декарта, составим системы уравнений для параболы, заданной функцией x 2= ƒ, и двух пересекающихся с ней прямых, например, y = —1 и y = —3. Попытаемся найти корни.

Не выходит. Потому что получаются уравнения: x 2= —1; x 2= —3. И, значит, x = √—1; x = √—3.

Квадратный корень из отрицательного числа – это что?

Это мнимые числа .

Такие числа ранее математики уже вычисляли, решая некоторые сложные уравнения. Им не придавали особого значения, поскольку наряду с подобными, казавшимися абсурдными, результатами получались и «нормальные» корни.

Декарт тоже их игнорировал, однако, во-первых, взявшись написать о числах всё, что знал, включил их в общую классификацию (термин «мнимые числа» принадлежит ему), а, во-вторых, в его программе создания общего метода решения математических задач их надо было как-то объяснить.

Ведь, несмотря на алгебраическое затруднение, геометрические объекты x 2= ƒ, y = —1, y = —3 существуют. В системе координат их можно построить и легко найти координаты точек пересечения. По две точки для каждой пары соответственно: (—1; —1) и (1; —1); (—√3; —3) и (√3; —3).

Значит, геометрические объекты реальны.

Но, поскольку функция-правило, согласно которой строится один из объектов, скажем так, не совсем реальна (функция типа x 2= — y ), координаты общих для этих объектов чисел-точек содержат «мнимые числа».

Т.е. данные точки нереальны (см. рис. 9).

Полагаю, будучи подлинным учёным, Декарт таким результатом нисколько не смутился. Что получилось, то получилось.

Свойство «мнимости» не помешало распространить логику соотношения величин и на эти, несподручные, числа.

Число, согласно Декарту, есть точка пересечения/соприкосновения двух объектов, причём математическое выражение общего локуса может быть, как минимум, двояким: реальным и мнимым.

Более того: используя мнимые числа-точки можно построить мнимый объект. Такой, как перевёрнутая парабола. Или, если брать примеры из современной жизни, «цифровой двойник».

Этот объект обладает многими свойствами реальности, но привычными мыслями-чувствами его не ухватишь и не ощутишь. Как отражение в зеркале.

Много позже, на рубеже XVIII – XIX вв. математики (Каспар Вессель, Жан-Робер Арган, Джон Уоррен и др. – основываясь, в свою очередь, на работах Леонарда Эйлера и Карла Фридриха Гаусса) додумались изображать соединение реального и мнимого. Оформилось понятие «комплексное число».

Сегодня все числа в математике – комплексные. Те числа, к которым привык и пользуется обычный человек, тоже комплексные. Только без их, мнимой, части (она принимается равной нулю).

Практическую ценность комплексных чисел в науке и технологиях трудно переоценить. Все технические достижения нашей цивилизации за последнюю сотню, если не больше, лет – в электротехнике, гидродинамике, аэродинамике, строительстве прочных конструкций, навигации, космонавтике и многих других прикладных областях – связаны с расчётами, в которых используются эти числа. 1 Физик Юджин Вингер отмечал, что «применение комплексных чисел становится почти неизбежным при формулировке законов квантовой механики». 39

Итак, хотя понятие комплексного числа сформулировано после Декарта – догадка о принадлежности мнимых чисел миру реального, несомненно, есть его персональная интеллектуальная инновация.