Йэн Стюарт - Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса [litres]

Эти изменения стали реальны благодаря тому, что такие понятия, как пространство и измерение, стали интерпретироваться более обобщенно, не противореча привычному пониманию этих слов в быту или СМИ, однако оставляя лазейку и для других возможностей. Для математиков пространство обозначает набор неких объектов с определенным расстоянием между каждыми двумя из них. Воспользовавшись приемом Декарта, предложившего идею координат, мы можем определить число измерений пространства по количеству чисел , необходимых для описания некоего объекта. Принимая за объекты точки и используя обычное понятие расстояния на плоскости или в пространстве, мы находим, что плоскость имеет два измерения, а пространство – три. Но возможны и другие наборы объектов с четырьмя измерениями или более.

Предположим, что объекты – сферы в трехмерном пространстве. Нам потребуется четыре числа ( x, y, z, r ), чтобы описать сферу: три координаты для ее центра ( x, y, z ) плюс радиус r. Иными словами, пространство всех сфер имеет четыре измерения. Примеры вроде этого показывают, что даже самый естественный математический вопрос легко приводит нас к многомерным пространствам.

Конечно, современные математики давно ушли дальше. Абстрактно четырехмерное пространство определяется как множество всех числовых четверок ( x 1, x 2, x 3, x 4). Пространство с n измерениями – для любого целого n – определяется как множество всех наборов ( x 1, x 2, …, x n) из n чисел. В каком-то смысле это уже знакомая история: интригующее и загадочное понятие многомерности рассыпается до тривиальности – очередной длинной цепочки чисел.

Сейчас нам понятна такая точка зрения, но ей потребовалось немало времени, чтобы укрепиться в сознании ученых. Математики отчаянно спорили, едва ли не с пеной у рта, о значении и реальности существования многомерных пространств. Понадобилось почти 100 лет, чтобы эти идеи распространились достаточно широко. Однако использование этих пространств и связанного с ними геометрического воображения оказалось столь эффективным, что возражения иссякли сами собой.

Ирония в том, что современная концепция многомерных пространств была порождена алгеброй, а не геометрией – как следствие неудачной попытки развить трехмерную числовую систему, аналогичную двумерной системе комплексных чисел. Разделение между двумя и тремя измерениями восходит к «Началам» Евклида. Первая часть его книги посвящена геометрии плоскости – двумерному пространству. Вторая же связана с геометрией тел – это геометрия трехмерного пространства. Вплоть до XIX в. само слово «измерение» воспринималось исключительно в этом знакомом контексте.

Греческая геометрия была не более чем формализацией наших визуальных и тактильных ощущений, позволяющих мозгу выстроить мысленную модель отношений расстояний во внешнем мире. Она изначально ограничена возможностями наших органов чувств и восприятия мира, в котором обитаем. Греки верили, что геометрия описывает реальное пространство, где мы живем, и делали вывод, что физическое пространство должно быть евклидовым. Отвлеченный математический вопрос «Может ли четырехмерное пространство существовать в некоем концептуальном плане?» перекликался с физическим «Может ли существовать реальное пространство с четырьмя измерениями?». А этот вопрос перекликался с «Могут ли существовать четыре измерения где-то внутри нашего знакомого пространства ?». Иными словами, существовало убеждение, что четырехмерное пространство невозможно.

Математический гений Гамильтона проявился так рано, что он был назначен профессором астрономии в Тринити-колледже в Дублине, еще будучи студентом, в возрасте 21 года. Этот пост принес ему титул королевского астронома Ирландии.

Он совершил немалопрорывов в математике, но самым значимым всегда считал открытие кватернионов. Он утверждал: «Кватернионы ‹…› полностью сформировались и зажили своей жизнью 16 октября 1843 г., когда я пешком шел с леди Гамильтон по Дублину и оказался на мосту Брум. Там я в буквальном смысле тут же ощутил замкнутую гальваническую цепь мысли, и искры, выпавшие из нее, были фундаментальными уравнениями для i, j и k – в точности в том виде , в каком я использовал их с тех пор. Я тут же выхватил из кармана записную книжку, которая до сих пор хранится у меня, и сделал наброски. И в тот же миг мне стало ясно, что ради этого результата я трудился не покладая рук последние десять, а то и пятнадцать лет. В тот момент я почувствовал, что проблема решена , и мой ум испытал желанное облегчение от того груза, что не давал мне покоя целых пятнадцать лет».

Гамильтон немедленно вырезал свое уравнение на камнях моста:

i 2= j 2= k 2= ijk – 1.

Геометрия начала избавляться от оков этого ограниченного мировоззрения, когда алгебраисты итальянского Ренессанса невольно натолкнулись на возможность более глубокого расширения концепции чисел, признав существование квадратного корня из –1. Валлис, Вессель, Арган и Гаусс разработали принципы интерпретации получаемых в результате комплексных чисел в виде точек на плоскости, избавив тем самым числа от оков одномерности вещественной прямой. В 1837 г. ирландский математик Уильям Роуэн Гамильтон упростил эту тему до алгебраического выражения, определив комплексное число x + iy как пару действительных чисел ( x, y ). Он далее определил сложение и умножение таких пар правилами:

( x, y ) + ( u, v ) = ( x + u, y + v )

( x, y )( u, v ) = ( xu – yv, xv + yu ).

При таком подходе пара вида ( x , 0) ведет себя как действительное число x , а особая пара (0, 1) – как i . Идея проста, но для ее принятия потребовалось изобрести изощренную концепцию математического мировосприятия.

Следом Гамильтон обратил свое внимание на нечто более амбициозное. Было хорошо известно, что комплексные числа дают возможность разрешить множество проблем математической физики, связанных с задачами на плоскости, используя простые и изящные методы. Такому же приему для трехмерного пространства не было бы цены. И ученый попытался изобрести трех мерную числовую систему в надежде, что соответствующие вычисления решат важные проблемы математической физики в трехмерном пространстве. Он по умолчанию предположил, что эта система будет удовлетворять всем обычным законам алгебры. Но, несмотря на героические усилия, он так и не нашел такую систему.