Йэн Стюарт - Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса [litres]

Исходя из этого Фреге открыл, что может подвести под всю арифметику целых чисел логическую основу. Вся она упрощается до явных свойств множеств. Всё это он изложил в своем труде «Основы арифметики: логически-математическое исследование о понятии числа» в 1884 г. Но, к его великому разочарованию, Георг Кантор, ведущий специалист в области математической логики, отмел эту книгу как бесполезную. В 1893 г. Фреге, не утративший решимости, опубликовал первый том другой книги, «Основные законы арифметики», в которой представил интуитивно правдоподобную систему аксиом арифметики. Пеано просмотрел ее, а все остальные проигнорировали. Через десять лет Фреге наконец-то подготовил к печати второй том, но к тому моменту сам успел обнаружить большой недостаток в своих аксиомах. Другие тоже заметили его недочеты. Том еще не вышел из-под пресса, а уже разразился скандал. Фреге получил письмо от известного философа и математика Бертрана Рассела. Говорилось там примерно следующее: «Дорогой Готлоб, представьте себе множество всех множеств, которые не являются элементом самих себя. Искренне Ваш, Бертран».

Как безупречный логик, Фреге тут же понял намек Рассела – тем более что уже был готов к неприятностям. В целом его подход подразумевал, хотя и без доказательств, что любое описываемое свойство определяет значимое множество, состоящее из объектов, что обладают упомянутым свойством. Но здесь подразумевалось именно свойство, а не элемент множества как таковой, который явно не соответствовал множеству.

Менее формальный вариант парадокса, предложенного Расселом, – брадобрей, который бреет всякого, кто не бреется сам. Кто же тогда бреет его самого? Если он бреется сам, то определенно его бреет сельский брадобрей – т. е. он сам! Если он не бреется сам, его должен брить брадобрей, т. е. опять-таки он сам.

Если не прибегать ко всяким трюкам – например, брадобрей женского пола, – единственный возможный вывод таков: этого брадобрея не существует. Рассел переформулировал этот парадокс в рамках множеств. Допустим, множество X состоит из всех множеств, которые не являются элементом самих себя. Будет ли тогда X элементом самого себя или нет? Если нет, то по определению оно принадлежит X – самому себе. Если да и оно элемент себя, то, подобно всем элементам X , оно не должно являться элементом самого себя. Но на этот раз выхода нет: женские множества пока не стали частью математических построений.

Мрачный Фреге был вынужден выпустить приложение к своему грандиозному опусу, в котором обсуждал возражения Рассела. Он нашел кратковременное решение: исключить из царства множеств те из них, которые являются элементами самих себя. Но даже ему самому это предложение не показалось достойным.

Рассел же попытался заполнить пробел Фреге в построении натуральных чисел с помощью множеств. Его идея состояла в ограничении того типа свойств, которые могут быть использованы для определения множества. Конечно, ему нужно было найти доказательство, что этот ограниченный тип свойств не приведет к парадоксу. В сотрудничестве с Альфредом Нортом Уайтхедом он пришел к сложной и искусственной теории типов , казавшейся достаточно объективной по крайней мере им самим. Они изложили свой подход в увесистом трехтомнике «Принципы математики», выпущенном в 1910–1913 гг. Определение числа два попало в конец первого тома, а теорема 1 + 1 = 2 доказана на с. 86 второго тома. Но и «Принципам математики» не суждено было положить конец фундаментальным спорам. Теория типов сама по себе была спорной. Математики желали получить что-то более простое и изящное.

Эти исследования фундаментальной роли счета как основы для чисел привели к одному из самых нашумевших открытий в математической науке – теории Кантора о трансфинитных числах – разных размерах бесконечности.

Бесконечность, в самых разных ипостасях, неизбежна в математике. Здесь нет самого большого натурального числа – потому что с добавлением единицы мы всегда получаем число еще большее, – а значит, существует бесконечно много натуральных чисел. Геометрия Евклида работает на бесконечной плоскости, и он доказал, что существует бесконечное множество простых чисел. В преддверии исчисления несколько человек, в том числе и Архимед, сочли полезным рассмотреть площадь и объем как сумму бесконечно многих и бесконечно тонких слоев. Когда исчисление изобрели, картина была примерно такой же: применялись эвристические методы для вычисления площадей и объемов, даже если имеющиеся доказательства говорили об ином.

Эти проявления бесконечности можно перефразировать в конечных терминах, чтобы избежать философских споров. Например, вместо того чтобы говорить «натуральных чисел бесконечно много», мы можем сказать «не существует самого большого натурального числа». Второе утверждение логически эквивалентно первому, при этом в нем нет явного упоминания бесконечности. По сути здесь бесконечность рассматривается как процесс, который можно продолжить без всяких конкретных ограничений, но фактически не завершенный . Такую бесконечность философы называют потенциальной. В противовес этому явное использование бесконечности как математического объекта само по себе оказывается актуальной бесконечностью.

Предшественники Кантора обратили внимание на то, что актуальные бесконечности обладают парадоксальными чертами. В 1632 г. Галилей написал свой «Диалог о двух системах мира», в котором два персонажа, проницательный Сальвиати и смышленый мирянин Сагредо, обсуждают причину приливов с геоцентрической и гелиоцентрической точек зрения. По требованию церкви все упоминания о приливах были вычеркнуты, и книга превратилась в гипотетическое словесное упражнение, содержащее мощные доводы в пользу гелиоцентрической теории Коперника. Персонажи между делом обсуждали и некоторые парадоксы, связанные с бесконечностью. Сагредо вопрошал: «Может ли быть чисел больше, чем квадратов?» – и указывал, что, коль большинство целых чисел не являются полными квадратами, ответ должен быть «да». Сальвиати отвечал, что всякое число можно однозначно сопоставить с его квадратом:

Таким образом число целых чисел должно быть таким же, как и число квадратов, и, значит, ответ «нет».

Кантор преодолел эти препятствия, указав, что в диалоге персонажей слово «больше» используется с двумя разными смыслами. Сагредо указывает, что множество всех квадратов является собственным подмножеством множества всех целых чисел. Позиция Сальвиати не столь однозначна: он возражает, что существует однозначное соответствие между множеством квадратов и множеством всех целых чисел. Это два разных утверждения, и оба могут быть верны – без каких-либо выводов.