Мартин Гарднер - Этот правый, левый мир

С первого взгляда кажется, что зеркальная симметрия не должна играть никакой роли в музыке, но ведь мелодия — это определенная последовательность музыкальных нот, расположенных вдоль оси времени, поэтому «отразить мелодию в зеркале» — значит просто проиграть ее наоборот. С помощью магнитофона это легко сделать. В большинстве случаев «музыка наоборот» воспринимается как бессмысленный набор звуков, и слушать ее неприятно. Фортепьянная музыка, проигранная наоборот, оказывается до странности похожей на органную. (Можете ли вы объяснить, почему?) В XV столетии многие композиторы писали каноны [8] Канон — повторение музыкальной темы разными последовательно вступающими друг за другом инструментами. — Прим. ред. (в этих произведениях две мелодии исполняются параллельно), в которых одна мелодия была «зеркальным отражением» другой в указанном смысле. Многие великие композиторы использовали обращение мелодий во времени для достижения разнообразных контрапунктных эффектов.

Музыку можно «перевернуть» и в другом смысле — низкие ноты заменить высокими и наоборот. Если вы представите себе необращенную Алису, которая сидит в Зазеркалье и играет на пианино знакомую ей мелодию, то зазеркальное фортепьяно будет издавать при этом музыку, перевернутую именно во втором смысле. Вы сами можете исполнить такую музыку, если умеете играть на пианино, для этого достаточно перевернуть нотную запись и играть по ней от начала к концу. Однажды Моцарт шутки ради написал канон, в котором вторая мелодия была перевернута и снизу вверх и слева направо. В этом случае для исполнителей дуэта нет даже нужды печатать две мелодии на нотной бумаге: оба голоса могут петь по одному листу, глядя на него с разных сторон. Современный пример такого канона, созданный Уинтропом Паркхерстом, можно найти в его книге «Анатомия музыки».

Поэзию тоже можно представлять себе как последовательность звуков, расположенных вдоль оси времени. Несомненно, многие опытные поэты намеренно использовали симметрию отражения, стремясь получить своеобразные звуковые эффекты. Роберт Браунинг, например, в своем прекрасном широко известном лирическом стихотворении «Ночная встреча» применил внутреннюю рифму типа abccba, чтобы отражение звуков напоминало плеск морских волн.

Если забыть о форме букв и считать, что предложение это ряд символов, расположенных вдоль одной линии, то зеркальным отражением можно пользоваться для получения разного рода забавных вещей. Мы называем палиндромами слова, которые билатерально симметричны, то есть пишутся одинаково в обоих направлениях: радар, ротатор. Малайалам — язык, на котором говорят некоторые народности в Индии. Уассамассау — палиндромическое название болотистой местности в графстве Беркли, Южная Каролина [9] В Сибири, километрах в ста от Томска, есть городок Яя, стоящий на реке Яя (приток Чулыма, притока Оби), а в Северное море недалеко от Кале впадает река Аа. Географический атлас содержит много подобных палиндромов. — Прим. ред. . «Морднилап» (палиндром наоборот) — это слово, которое превращается в другое слово, если его перевернуть, например: live — жить и evil — зло, straw — соломинка и warts — бородавки, dessert — дессерт и stressed — подчеркнутый и т. д. Если симметрией отражения обладает целое предложение, его тоже называют палиндромическим. Написаны тысячи таких предложений. Интересующийся читатель найдет хорошую подборку новых, малоизвестных примеров такого рода в книге Бомобо «Литературные курьезы». Вот два из них:

A man, a plan, a canal, — Panama!

(Человек, план, канал — Панама!)

Straw? No, too stupid a fad. I put soot on warts.

(Соломой? Нет, это слишком глупая причуда. Я мажу сажей бородавки.) [10] В русском языке имеется множество таких примеров; в качестве классического приведем строку из стиха-палиндрома Г. Р. Державина: «Я иду с мечем судия». — Прим. ред.

Некоторые считают, что первый палиндром написан американским юмористом Джеймсом Турбером, но это не так. Эта фраза принадлежит Лей Мерсеру, лондонскому составителю языковых задач и загадок, автору многих оригинальных палиндромов.

Палиндромическое число не меняется, если изменить порядок его цифр на обратный. Последним палиндромическим годом был 1881 (это число не меняется также, если его перевернуть или посмотреть на его отражение в зеркале). 1961 не меняется при перевороте, но не является палиндромом. Ближайшим палиндромическим годом будет, конечно, 1991. Если взять какое-нибудь число, изменить порядок его цифр на обратный и сложить с исходным числом, затем ту же процедуру проделать с полученной суммой и так несколько раз повторить ее, то сможем ли мы получить на каком-нибудь этапе этого процесса палиндромическое число? Так, 89 + 98 = 187 — не палиндром. 187 + 781 = 968 — все еще не палиндром. Однако, продолжая «перевертывать и складывать», мы получим в конце концов после 24 сложений палиндром 8 813 200 023 188.

Некоторые считают, что описанная процедура в применении к любому целому числу даст палиндром после конечного числа сложений. Калифорнийский математик Чарльз Тригг сомневается в справедливости этого предположения. Среди чисел меньше 10 000 он нашел 251 число, каждое из которых не дает палиндрома при первых ста сложениях; наименьшее из этих чисел 196. Может быть, найдется читатель, который составит программу для вычислительной машины и проверит число 196, проделав свыше ста сложений. Другой калифорнийский математик, Дьюи Дункан, показал, что в двоичной системе описанный процесс не всегда дает палиндром. Например, если взять за исходное двоичное число 10 110, то из него никогда не получится палиндром. Доказательство этому можно найти в задаче 5 в книге Роланда Спрага «Математический досуг». В десятичной системе этот вопрос остается еще нерешенным.

Особое внимание привлекают палиндромические простые числа. (Простые числа не имеют других делителей, кроме самого себя и единицы. Сама единица тоже простое число.) Норман Гриджмен из Оттавы заметил, что простые палиндромические числа с нечетным числом цифр часто образуют идентичные пары, за исключением средней цифры, которая у них отличается на единицу. Например, среди первых 47 простых палиндром таких пар известно 12:

Доказано, что простых палиндромических чисел бесконечно много. А является ли число таких пар бесконечным? Гриджмен говорит: «Да», — но этого пока никто не доказал.

Время от времени пишутся палиндромические стихи, в которых порядок слов абсолютно одинаков в обоих направлениях (см., например, упомянутую выше книгу Бомобо), и — значительно реже — палиндромические стихи, в которых «отражаемым элементом» является буква, а не слово. Грэхэм Рейнолдс напечатал три палиндромических стиха в журнале «New Departures» за 1960 год. Вот один из них: