Альфред Позаментье - Стратегии решения математических задач. Различные подходы к типовым задачам

Первая реакция — это взять две монетки и посмотреть, какими будут результаты после большого числа подбрасываний. Вместе с тем, как и в большинстве вероятностных экспериментов, пространство выборок чаще всего оказывается слишком маленьким, чтобы предсказать результат с приемлемой точностью.

Обратимся к стратегии логического рассуждения. При выполнении этого эксперимента все предыдущие подбрасывания монеток не имеют значения. Значение имеет только одно подбрасывание, в результате которого выпадает орел (О). Поэтому ограничимся анализом только этого последнего подбрасывания. Возможными являются четыре варианта:

В трех из этих четырех вариантов выпадает как минимум один орел. Орел не выпадает только в одном варианте — его можно отбросить. Единственный вариант с двумя орлами — это ОО. Таким образом, вероятность составляет

У одних пород свиней рождаются поросята с двумя завитками на хвостах, у других пород — с тремя завитками. Фермер поручает своим детям подсчитать, сколько свиней находится в свинарнике. Дети, одержимые математикой, сообщают ему, что количества свиней с двумя завитками и с тремя завитками выражаются простыми числами, а общее количество завитков на хвостах равно 40. Сколько свиней в свинарнике фермера?

Если взять за x количество свиней с двумя завитками на хвостах, а за y — количество свиней с тремя завитками, то мы получаем уравнение 2 x + 3 y = 40. Это одно уравнение с двумя неизвестными. Числа здесь сравнительно невелики, поэтому можно попробовать найти ответ путем подстановки различных значений x и y . Вместе с тем, поскольку известно, что x и y простые числа, выбор ограничивается следующими величинами: 19, 17, 13, 11, 7, 5, 3 и 2. В любом случае процесс решения довольно длителен, скучен и громоздок.

Если взять за x количество свиней с двумя завитками на хвостах, а за y — количество свиней с тремя завитками, то 2 x + 3 y = 40, как мы уже говорили. Однако на этот раз пойдем дальше и проанализируем полученное уравнение, опираясь на логику. Поскольку и 40, и 2 x — четные числа, четным числом должен быть и y , иначе сумма (40) не будет четной. Поскольку y — простое число, он должен быть равен 2 (это единственное четное простое число), а 3 y должно равняться 6. Теперь решим уравнение для x :

2 x + 6 = 40,

2 x = 34,

x = 17.

У фермера в свинарнике 17 + 2, или 19 свиней.

Число называют «специальным», если оно делится на сумму составляющих его цифр. Какое из следующих чисел удовлетворяет этому условию?

11, 111, 1111, 11111, 111111, 1111111, 11111111, 111111111.

Обычно мы подсчитываем сумму цифр в каждом числе и делим число на эту сумму. Например, 11 должно делиться на 1 + 1, или на 2. Но оно не делится на 2, поэтому 11 не является специальным числом. Если действовать таким образом, то нам придется решить восемь небольших задачек.

Хотя описанный выше подход в конечном итоге позволяет решить задачу, воспользуемся логическим рассуждением для поиска более изящного решения. Прежде всего, очевидно, что все приведенные числа являются нечетными, поскольку ни одно из них не оканчивается на 2, 4, 6, 8 и 0. Четное количество единиц даст нам четную сумму. Это позволяет отбросить числа с четной суммой единиц: 11, 1111, 111111 и 11111111. Помимо этого, число 11111 не делится на 5, поскольку оно не оканчивается на 0 или 5.

Если проверить число 1111111, то окажется, что оно не делится на 7. В результате у нас остаются всего два числа. Число 111 делится на 3, т. е. на сумму входящих в него цифр (3 × 37). Аналогичным образом число 111111111 делится на 9 (т. е. 9 × 12 345 679). Таким образом, 111 и 111111111 являются двумя «специальными» числами в приведенном числовом ряду.

Наименьшее число, которое делится на первые девять целых чисел, равно 2520. Какое наименьшее число будет делиться на первые 13 целых чисел?

Проще всего найти все множители для первых 13 целых чисел и перемножить их. Это, правда, потребует много времени и утомительных вычислений. Не забывайте, что множители нельзя повторять (например, множитель 8 недопустим, поскольку 4 и 2 уже использовались). Так или иначе, данный метод позволяет в конечном итоге получить правильный ответ, если, конечно, все сделать тщательно и без ошибок.

Теперь попробуем порассуждать. Очевидно, что множители от 1 до 9 (первые девять целых чисел) уже использовались для получения произведения, равного 2520. Следовательно, нам нужно рассмотреть только целые числа 10, 11, 12 и 13, поскольку число 2520, задействующее предыдущие целые числа, уже известно. Множители 10 (5 × 2) и 12 (4 × 3) уже использовались. Однако 11 и 13 — это простые числа, которые делятся только сами на себя и на 1. Таким образом, умножив 2520 × 11 × 13, мы определяем, что наименьшее число, которое делится на первые 13 целых чисел, равно 360 360.

Ал, Барбара, Кэрол и Дэн сдают экзамен по математике. В целом они правильно ответили на 67 вопросов, и у каждого из них есть как минимум один правильный ответ. Ал дал больше всего правильных ответов. Барбара и Кэрол дали в сумме 43 правильных ответа. Сколько правильных ответов дал Дэн?

Обычно делают предположение для каждого участника экзамена, проверяют, не нарушаются ли условия задачи, и смотрят, дают ли предположения в сумме 67. Такой подход может дать правильный ответ, однако все очень зависит от удачности предположений.

Применим нашу стратегию логического рассуждения. Поскольку Барбара и Кэрол вместе дали 43 правильных ответа, у одной из них таких ответов должно быть, как минимум, 22, а у другой — 21. Так как Ал оказался впереди всех, то с учетом предыдущих предположений в отношении Барбары и Кэрол у него должно быть, как минимум, 23 правильных ответа. Если допустить, что у Ала 23 правильных ответа, у Барбары — 22, а у Кэрол — 21, то в сумме у них будет 23 + 22 + 21 = 66 правильных ответов. Это означает, что Дэн правильно ответил только на один вопрос. Поскольку у всех есть как минимум один правильный ответ, результат 1 для Дэна правилен.

Лайза, которая едет на велосипеде по мосту, соединяющему точки A и B , и уже преодолела его длины, слышит, что сзади приближается поезд, движущийся со скоростью 60 км/ч. Она прикидывает расстояния и решает, что впритык сможет избежать столкновения, если поедет в любую сторону (к точке A или точке B ) максимально быстро. Какова ее максимальная скорость?