Рэймонд Смаллиан - Принцесса или тигр

— Прекрасный, ну просто замечательный вопрос! — сияя, воскликнул Фергюссон. — А ну-ка — вот вам еще задачка: найти такие числа X и У, чтобы число X порождало повторение числа У, а число У порождало обращение ассоциата X.

— С меня хватит! — воскликнул Мак-Каллох.

— Минуточку, минуточку, — перебил их Крейг. — Я, кажется, что-то начинаю понимать. Не хотите ли вы сказать, Фергюссон, что для любых двух операций, которые может выполнять машина, то есть для любых двух заданных операционных чисел М и N, должны существовать некие числа X и У, характеризующиеся тем, что X порождает M(Y), а У порождает N(X)?

— Вот именно! — воскликнул Фергюссон. — И поэтому мы можем найти, например, такие числа X и У, для которых X порождает двойной ассоциат У, а У порождает повторение обращения X или любые другие комбинации, какие вы захотите.

— Вот так штука! — изумился Мак-Каллох. — Ведь все это время я пытался придумать машину как раз с таким свойством, а она у меня, оказывается, уже есть!

— Безусловно есть, — подтвердил Фергюссон.

— А как вы докажете это свойство? — спросил Мак-Каллох.

— Я бы хотел начать доказывать его постепенно, — ответил Фергюссон. — Собственно говоря, суть дела заключается в ваших правилах 1 и 2. Поэтому сначала позвольте сделать несколько замечаний относительно вашей первой машины — той, в которой используются только эти два правила. Начнем со следующей простой задачи: можно ли, используя правила 1 и 2, найти два различных числа X и У, таких, чтобы число X порождало У, а число У в свою очередь порождало X?

Крейг и Мак-Каллох тут же занялись этой задачей.

— Ну, конечно, — рассмеялся вдруг Крейг. — Это же очевидно вытекает из того, что совсем недавно показы вал мне Мак-Каллох.

А вы можете найти эти числа?

— Теперь, — сказал Фергюссон, — для любого числа А существуют такие числа X и У, что X порождает У, а число У порождает АХ. Если число А нам задано, то можете ли вы найти числа X и У? Например, можете ли вы найти такие X и У, чтобы X порождало У, а У порождало 7X7

— Мы все еще пользуемся только правилами 1 и 2 или уже можно применять правила 3 и 4? — спросил Крейг.

— Вам понадобятся только правила 1 и 2,— ответил Фергюссон.

— Я уже нашел решение! — тут же заявил Крейг.

4. — Интересно, — сказал Мак-Каллох, просмотрев решение Крейга. — А у меня решение другое.

Действительно, в этой задаче существует и второе решение. Можете ли вы его найти?

5. — Ну, а теперь, — сказал Фергюссон, — мы добрались до действительно важного свойства. Так, из одних только правил 1 и 2 следует, что для любых чисел А и В существуют такие числа X и У, при которых X порождает АУ, а У порождает ВХ. Например, существуют такие X и У, что X порождает 7 У, а У порождает 8X. Не можете ли вы найти эти числа?

6. — Из последней задачи, — сказал Фергюссон, — со всей очевидностью следует (правда, из второго принципа Крейга это получается еще более просто), что для любых операционных чисел М и N должны существовать такие числа X и У, при которых X порождает M(Y), а У порождает N(X). Причем это оказывается справедливым не только для данной машины, но и для любой машины, в программу работы которой включены правила 1 и 2. С помощью вашей теперешней машины можно, например, найти такие X и У, при которых число X порождает обращение числа У, а число У порождает ассоциат числа X.

Сумеете ли вы их найти?

7. — Это страшно интересно, — сказал Фергюссону Мак-Каллох, когда они с Крейгом решили последнюю задачу. — Но у меня возник вот какой вопрос: подчиняется ли моя машина «двойному» аналогу второго принципа Крейга? Иначе говоря, если заданы два операционных числа М и N, а также два произвольных числа А и В, то обязательно ли существуют такие числа X и У, при которых X порождает M(AY), а У порождает N(BX)

— Ну, конечно, — подтвердил Фергюссон. — Например, существуют такие числа X и У, при которых число X порождает повторение 7 У, а число У порождает обращение 89X.

Не могли бы вы найти эти числа?

8. — Я подумал еще вот о чем, — сказал Крейг. — Если имеется некоторое операционное число М и произвольное число В, то обязательно ли должны существовать такие числа X и У, при которых X порождает М(Y), а У порождает ВХ? Например, существуют ли такие X и У, при которых число X порождает ассоциат У, а число У порождает число 78 X?

А как думаете вы?

9. — Фактически, — продолжал пояснения Фергюссон, — у нас возможны самые разные комбинации. Так, давая некоторые операционные числа М и N и произвольные числа А и В, всегда можно найти числа X и У, которые отвечают любому из ниже перечисленных условий:

а) X порождает М(АУ) а У порождает N(X);

б) X порождает М(АУ) а У порождает ВХ;

в) X порождает M(Y), а У порождает X;

г) X порождает M(AY), а У порождает X.

Попробуйте доказать эти утверждения.

10. Триплеты и так далее.

— Ну, теперь-то, мне кажется, мы перебрали уже все возможные варианты, — сказал Крейг.

— Да нет, — ответил Фергюссон. — То, что я вам показывал до сих пор, — это еще только начало. А знаете ли вы, например, что существуют три числа X, У и Z, такие, что число X порождает обращение У, число У порождает повторение Z, а число Z порождает ассоциат X?

— Неужели? — удивился Мак-Каллох.

— Именно так, — подтвердил Фергюссон. — Более того, если заданы три произвольных операционных числа М, N и Р, то должны существовать такие числа X, У и Z, при которых X порождает M(Y), Y порождает N(Z), a Z порождает Р(Х).

Не сумеете ли вы, читатель, доказать это утверждение? И в частности, каковы будут эти числа X, У и Z, если известно, что число X порождает обращение У, число У порождает повторение Z, а число Z порождает ассоциат X?

После того как Крейг и Мак-Каллох решили и эту задачу, Фергюссон сказал:

— Конечно, тут тоже возможны самые разные варианты этого «тройного» закона. Например, если заданы три любых операционных числа М, N и Р, а также три произвольных числа А, В и С, то существуют такие числа X, У и Z, при которых число X порождает M(AY), число У порождает N(BZ), а число Z порождает Р(СХ). Это справедливо и в том случае, если взять не три числа А, В, С, а любые два из них или даже одно. [5] Что соответствует случаю, когда одно или два числа из тройки А, В, С мы полагаем равными единице. Так, мы можем найти такие числа X, У и Z, при которых X порождает А У, У порождает M(Z), a Z порождает N(BX). Возможны, естественно, и всякие другие варианты — вы вполне можете заняться ими на досуге.

— Кроме того, — продолжал он, — та же идея действует и тогда, когда мы используем 4 операционных числа или даже более. Например, мы можем найти числа X, У, Z и W, при которых число X порождает 78У, число У порождает повторение Z, число Z порождает обращение W, а число W порождает ассоциат 62Х. Возможности практически бесконечны, причем их удивительное многообразие обусловлено всего лишь правилами 1 и 2.