Александр Бородулин - Не только о математике

Все улыбнулись, и ответили, чтобы Ульяна кушала на здоровье. Ульяна взяла две конфеты с противоположных углов, и ещё одну из середины. Надкусила первую. Та оказалась с миндалём. Вторая конфета тоже оказалась с миндалём. Ульяна задумалась, вдруг третья конфета окажется с фисташкой, и тогда она не отведает желаемого лесного орешка, и вынуждена будет признать, что её расчёт оказался не верным. Ульяна смотрела на третью конфетку, но не решалась её проверить. Домашние заметили замешательство Ульяны и с любопытством наблюдали за девочкой. Даже кот, который по обыкновению безмятежно дремал во время вечерней трапезы, был удивлен внезапно наступившей тишиной, и лениво приоткрыл один глаз, чтобы убедиться, что всё в порядке и все на месте. Ульяна глубоко вздохнула и решительно надкусила конфету. Ура! Показался кругленький бочок лесного орешка. Ульяна сначала обкусала шоколадную оболочку, и затем с удовольствием захрустела, разгрызая спелое и упругое ядрышко. Потом она подумала, что если оставшиеся конфеты разделить на группы по три штуки, то в одной из групп непременно окажутся две конфеты с фисташками, а в одной из групп точно не будет конфеты с миндалём. Братик, не скрывая удивления, спросил почему Ульяна съела только третью конфетку, а первые две только слегка надкусила? И Ульяна пояснила свои расчёты и предположения. Все сидящие за столом улыбнулись, а папа похвалил Ульяну за любознательность, и добавил, что всякие орехи и вкусны, и полезны. Затем, подмигнув дочери, взял ближайшую конфету, и, словно мячик, целиком отправил её себе в рот.

Теперь, Ребята, можно сказать, что вероятность – это предположение, основанное на некотором расчёте. Почему же на некотором? Потому, что расчёта, который сделала Ульяна, оказалось недостаточно, чтобы быть уверенной, что из трёх, наугад взятых, конфет одна будет с фундуком. Но могла ли Ульяна, на основании тех данных, которые у неё имелись, сделать более точный расчёт? Нет! Не могла! Поэтому вероятность и уверенность – совсем разные понятия. С уверенностью можно лишь утверждать, что в любой конфете есть орешек. На современных кондитерских фабриках каждый этап производственного процесса проходит под контролем не только внимательных операторов, но и высокоточной электроники. Так, что возможность брака настолько мизерна, что её смело можно считать ничтожной.

И вот, правило первое: вероятность возможного события равна единице (или 100%, если угодно).

Соответственно, вероятность невозможного события равна нулю.

Таким образом вероятность условного события находится в пределах от нуля до единицы, и, в общем случае, выражается дробью, знаменателем которой является количество всех возможных вариантов события, а числителем – количество условных (желательных) вариантов события.

У кубика, как известно, шесть граней. Грани игральных кубиков пронумерованы точками. Теперь, мысленно, прокрутим кубик и бросим его на поверхность стола. На верхней грани стоит пять точек. Теперь, хитрый вопрос: стоит ли загадывать число пять перед следующим броском?

Многие скажут, что не стоит. Потому, что пять только что выпало и вряд-ли повторится. Проверим! На этот раз выпало число два. А теперь, какое число следует загадать? Не два и не пять. Проверим! Выпало число шесть. А сейчас, вероятнее всего, выпадет либо один, либо три, либо четыре. Проверим! Выпало число два. Но почему? У нас же так классно получалось. Да ничего у нас не получалось! Потому, что любой последующий бросок кубика не может, каким-либо образом, зависеть от результатов предшествующих бросков. Иными словами вероятность выпадения каждой грани, каждый раз одинаковая. В данном случае 1/6.

Если бы мы бросали сразу два кубика, то вероятность загаданного числа (загадано, что хотя бы на одном из кубиков выпадет желаемое число) увеличится.

А если бы мы бросали сразу два кубика, то вероятность загаданных чисел (загадано, что на обоих кубиках выпадет желаемое число) уменьшится.

В первом случае (назовём его сложением условий) вероятности следует сложить. Получится 2/6 или 1/3.

При этом, следует помнить, что даже если бросать сразу шесть кубиков (при этом вероятность будет уже равна единице), это вовсе не гарантирует желаемого результата. Помните, Ребята, что вероятность далека от уверенности!

А во втором случае (назовём его наложением условий) вероятности следует перемножить. Получится 1/36.

Самым простым и надёжным способом решения задач на вероятность является способ выбора и подсчёта. Для этого нужно взять листок, и выписать или нарисовать все возможные варианты события. Это трудоёмко, но не надо лениться! Затем, отметить те варианты, которые соответствуют условию задачи. Осталось только подсчитать и записать правильный ответ.

Ну, а теперь, попробуем решить пару задач из тестовых вариантов ЕГЭ по базовой математике.

В чемпионате по гимнастике участвуют 30 спортсменок: 10 из Японии, 14 из Китая, остальные – из Кореи. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием.

Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Кореи.

Вот такая простейшая задачка. Знаменатель нам уже известен. А вот числитель мы легко вычислим: 30 – 10 – 14 = 6. Вероятность того, что первая гимнастка, которая выступит на этом чемпионате будет кореянка составит 6/30, или короче 0,2. Гимнасток из Кореи в пять раз меньше общего количества гимнасток.

Следующая задачка.

Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,2. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две такие батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся неисправными.

Эта задачка чуть посложнее. Тут мы сначала переведём вероятность из десятичной дроби в обычную. 0,2 = 1/5.

То есть каждая пятая батарейка бракованная. Нарисуем на краешке одного листочка вертикально пять кружочков, один из которых пометим крестиком. Это будет только иллюстрация заданного условия задачи. Затем, нарисуем на краешке другого листочка горизонтально также пять кружочков, один из которых пометим крестиком. И теперь к каждому кружочку на первом листочке будем прикладывать по одному кружочку на втором листочке. Подсчитаем, что вариантов получилось 25, и только в одном, помеченные крестиком кружочки совпали. Следовательно, из двадцати пяти возможных вариантов только один окажется желательным. На самом деле вовсе не желательным!

1/25 = 0,04.

Точно такой же результат мы получили бы если просто перемножили вероятности. Но, решение контрольных задач сопровождается некоторым стрессом, из-за которого вы можете перепутать какие действия или какие формулы следует применить. Поэтому способ выбора и подсчёта, хоть и более длительный, но более надёжный. Впрочем, как кому удобно!

Читать дальше