Саймон Сингх - Великая Теорема Ферма

Но если у Ферма не было доказательства Уайлса, то что у него было? Математики разделились на два лагеря. Твердолобые скептики склоняются к мнению, что Великая теорема Ферма была результатом редкого момента слабости математического гения XVII века. Они утверждают, что хотя Ферма и написал на полях «Арифметики» Диофанта: «Я нашел поистине удивительное доказательство», — в действительности он нашел доказательство, содержавшее ошибку. Вполне возможно, что доказательство Ферма строилось примерно так же, как доказательство Коши и Ламе.

Другие математики, назовем их романтическими оптимистами, убеждены в том, что Ферма мог найти какое-то гениальное доказательство. Каким бы ни было это гипотетическое доказательство, оно должно было быть основано на методах XVII века и использовать аргумент настолько тонкий, что он ускользнул впоследствии от всех — от Эйлера до Уайлса. Несмотря на публикацию доказательства Уайлса, существует много математиков, которые уверены в том, что им удастся добиться широкого признания и славы, открыв первоначальное доказательство Ферма.

Хотя для решения загадки XVII века Уайлсу пришлось прибегнуть к методам XX века, тем не менее найденное им доказательство Великой теоремы Ферма удовлетворяло всем правилам, установленным комиссией Вольфскеля. 27 июня 1997 года Эндрю Уайлс получил премию Вольфскеля в размере 50000 долларов. И снова Ферма и Уайлс попали на первые полосы газетных изданий всего мира. Великая теорема Ферма была официально признана доказанной.

Какая проблема теперь привлечет внимание Уайлса? В течение семи лет он работал над доказательством Великой теоремы Ферма в обстановке полной секретности. Неудивительно, что он отказывается отвечать на вопросы о том, над чем работает сейчас, но над чем бы Уайлс ни работал, не подлежит сомнению, что новая проблема никогда не захватит его с такой полнотой, как Великая теорема Ферма. «Ни одна другая проблема не будет означать для меня так много. Великая теорема Ферма была моей детской мечтой. Заменить ее не сможет ничто. Я доказал ее. Уверен, что попытаюсь решить какие-то другие проблемы. Некоторые из проблем очень трудны, и если мне удастся решить какую-нибудь из них, то это, несомненно, снова даст мне ощущение достижения. Но нет ни одной проблемы в математике, которая могла бы захватить меня так, как захватила Великая теорема Ферма.

Мне выпало счастье осуществить в моей взрослой жизни то, что было мечтой моего детства. Я знаю, что это редкая удача, но если во взрослом состоянии вам представляется возможность заниматься чем-то таким, что значит для вас так много, то это занятие служит для вас наградой более высокой, чем что-либо еще. Доказав Великую теорему Ферма, я не мог не ощутить чувство потери, но в то же время меня охватило чувство бескрайней свободы. На протяжении восьми лет я был настолько поглощен ее доказательством, что не мог думать ни о чем другом. Я думал о теореме Ферма все время — с утра до ночи. Для размышлений об одном и том же — срок очень долгий. Теперь эта одиссея подошла к концу. Мой разум обрел покой».

Цель доказательства — убедиться в том, что теорема Пифагора верна для всех прямоугольных треугольников. Треугольник, изображенный на рисунке слева, может быть любым прямоугольным треугольником, так как длины его сторон не указаны, а обозначены буквами x, y и z . Справа из четырех одинаковых прямоугольных треугольников и наклоненного квадрата составлен квадрат больших размеров. Площадь большего квадрата — ключ к доказательству.

Площадь большого квадрата можно вычислить двумя способами.

1-й способ. Измеряем площадь большого квадрата как единой фигуры. Длина каждой стороны равна x + y . Следовательно, площадь большого квадрата равна ( x + y ) 2.

2-й способ. Измеряем площадь каждого элемента большого квадрата. Площадь каждого треугольника равна xy /2. Площадь наклонного квадрата равна z 2. Следовательно, площадь большого квадрата равна 4 × (площадь каждого треугольника) + (площадь наклонного квадрата) = 4· xy /2 + z 2. 1-й и 2-й способы приводят к двум различным выражениям. Оба выражения должны быть равны, так как они представляют различные записи одной и той же площади. Следовательно,

(x + y) 2= 4·xy/2 + z 2.

Раскроем скобки и упростим полученные выражения:

x 2+ 2xy + y 2= 2xy + z 2.

Члены 2 xy , стоящие в левой и правой частях равенства, взаимно уничтожаются, и мы получаем

x 2+ y 2= z 2.

Это и есть теорема Пифагора!

Приведенное доказательство остается в силе для любых прямоугольных треугольников. Длины сторон треугольника в нашем доказательстве обозначены буквами x, y и z , которые могут быть длинами сторон любого прямоугольного треугольника.

Цель Евклида состояла в доказательстве того, что число √2 не представимо в виде дроби. Поскольку Евклид использовал доказательство от противного, первый шаг состоял в предположении, что верно противоположное утверждение, т. е. что число √2 представимо в виде некоторой неизвестной дроби. Запишем эту дробь в виде p / q , где p и q — два целых числа.

Прежде чем приступать к самому доказательству, необходимо напомнить некоторые основные свойства дробей и четных чисел.

1) Если взять любое число и умножить его на 2, то произведение должно быть четным. По существу, это определение четного числа.

2) Если квадрат некоторого числа четен, то и само число должно быть четным.

3) Наконец, дроби можно сокращать: 16/24 это то же самое число, что и 8/12. Чтобы убедиться в этом разделите числитель и знаменатель дроби 16/24 на общий множитель 2. Кроме того, число 8/12 это же самое, что и 4/6, а 4/6 это же самое, что и 2/3. Дробь 2/3 не подлежит дальнейшему сокращению, так как 2 и 3 не имеют общих множителей. Дробь невозможно сокращать до бесконечности.

Напомним, что по мнению Евклида число √2 не представимо в виде дроби. Но поскольку Евклид использовал доказательство от противного, он начал с предположения, что дробь p / q , равная числу √2, существует, а затем исследовал, к каким последствиям приводит такое предположение:

√2 = p / q .

Возводя обе части равенства в квадрат, получаем

2 = p 2/ q 2.

После несложного преобразования запишем это равенство в виде

2q 2= p 2.

Из 1) мы знаем, что число p 2должно быть четным. Кроме того, из 2) нам известно, что число p также должно быть четным. Но если p четно, то, как следует из 1), его можно записать в виде 2 m , где m — некоторое другое целое число. Подставляя p = 2 m в равенство для p 2, получаем