Иосиф Розенталь - Геометрия, динамика, вселенная

Третья кардинальная идея Эйнштейна и основывается на первых двух. Риманова метрика определяется расположением тел в пространстве. Как обычно, фундаментальное физическое уравнение следует записать на языке инвариантов. Не останавливаясь на цепи рассуждений, отметим лишь, что уравнения гравитации следовало бы сформулировать на языке кривизн и тензора энергии импульса. Уравнение Эйнштейна имеет вид

R|| — 1/2 g|| R = (8 π G / c**4) T||, (38) юv юv юv

где R|| — тензор кривизны, R — скалярная кривизна, T||

юv юv тензор энергии-импульса:

T|| = (ε+p) u| u| — pg||, (39) юv юv

здесь ε — плотность энергии, p — давление, u — 4-скорость. Инвариантные характеристики кривизны R|| и R определяются

юv компонентами метрического тензора и его производными по времени. Мы не будем здесь выписывать эти довольно громоздкие выражения, которые можно найти в любой монографии, посвященной общей теории относительности.

Таким образом, расположение частиц материи (тензор T||)

юv определяет характеристики Риманова пространства (R||, R).

юv Однако это влияние взаимно. Движение частиц, в свою очередь, определяется геометрией. Частицы движутся в римановом пространстве (гравитационном поле) по кратчайшим расстояниям — геодезическим.

Сделаем некоторые комментарии к уравнению (38).

1. Уравнение Эйнштейна не является полной геометризацией динамики. В правой части находится тензор T||, отражающий свойства материи. Уравнение (38) лишь юv отражает тесную связь между геометрией и динамикой.

2. При нашем весьма упрощенном подходе к уравнению (38) мы, следуя Эйнштейну, опирались на весьма идеализированные мысленные эксперименты. Этот подход неоднократно подвергался критике и модифицировался. Однако почти всегда и при более рафинированном подходе получали уравнения гравитации в форме (38) или близкой к ней.

3. Уравнение (38) прекрасно согласуется со всеми (правда, немногочисленными) экспериментальными данными.

4. Вывод уравнений Эйнштейна на основе более строгих аргументов в известной мере бессмыслен. На поверку оказывается, что и эти строгие аргументы также содержат дополнительные постулаты. Этот факт отражает наше убеждение, что строгий «вывод» фундаментальных уравнений едва ли возможен. Об этом свидетельствует не только опыт вывода уравнений Эйнштейна, но и выводы основных уравнений электромагнитного поля (Максвелл) или уравнений электронов и позитронов (Дирак). В обоих случаях авторы исходили из аргументов, которые впоследствии критиковались. Однако уравнения Максвелла, Дирака и Эйнштейна — основа современной физики. Их справедливость была обусловлена в значительной степени красотой (симметрией), логичностью аргументации и гениальной интуицией авторов. Совершенствовать аргументацию фундаментальных уравнений физики — дело праведное, отрицать же их величие — верх нелепости. По нашему мнению, последняя оценка относится и к попыткам их канонизации — отрицанию ограниченности любой самой великой теории.

Одна из основных (а быть может, и главная) задач современной физики — построение объединенной теории взаимодействий. В настоящее время достаточно хорошо изучены четыре фундаментальных взаимодействия: гравитационное, слабое, электромагнитное и сильное (см. Дополнение). Конечная цель заключается в том, чтобы написать единое уравнение, описывающее все четыре взаимодействия. Эта задача включает три элемента: 1) описание объединенного взаимодействия с помощью одной или нескольких констант взаимодействия, 2) включение в уравнение общих характеристик взаимодействий, 3) исключение из теории бесконечных величин, которые с неизбежностью возникают при использовании изолированных, необъединенных взаимодействий.

Рассмотрим эти составляющие объединенной теории более детально. На первый взгляд первая задача — описание разных взаимодействий с помощью единой константы — утопия. Константы различных взаимодействий имеют разные величины, отличающиеся друг от друга на много порядков.

Однако такое категорическое утверждение кардинально неверно. Дело в том, что константы всех взаимодействий зависят от передаваемого во время взаимодействия импульса массы m. При такой операции зависимость константы от передаваемой массы (импульса) существенно различна для разных взаимодействий. Константа ALHPA|, характеризующая

e электромагнитное взаимодействие, зависит от передаваемой массы чрезвычайно слабо, и мы будем в дальнейших рассуждениях этой зависимостью пренебрегать, полагая ALPHA| (m) = const.

e

Константа ALHPA| сильного взаимодействия, описываемого

s квантовой хромодинамикой, зависит от передаваемой массы приблизительно логарифмически. При условии m >> m|

p (m| ≈ 10**-24 г — масса протона) теоретическая зависимость p ALPHA| (m) имеет вид

s

ALPHA| ~ (ln m\m|)**-1 (40)

s p

Константы ALPHA| ALPHA| слабого и гравитационного

w g взаимодействий квадратично (~m**2) зависят от передаваемого импульса (массы).

Именно разные энергетические зависимости констант ALPHA (m) и определяют потенциальную возможность их совпадений при некоторых значениях m. Здесь следует подчеркнуть именно потенциальность возможности существования значения m, при котором произойдет пересечение трех или четырех констант при едином значении m. Подобная ситуация отличается от предсказаний относительно совпадения двух констант, когда вполне естественно ожидать пересечения двух кривых ALPHA| (m) и ALPHA| (m) в одной точке.

1 2

Таким образом, возможность объединения взаимодействий совпадения констант ALPHA при определенном значении m apriori не очевидна. Лишь расчеты зависимостей ALPHA (m) могут подтвердить или опровергнуть возможность объединения констант. Здесь речь идет именно о расчетах, поскольку (как мы увидим ниже) масштабы масс, при которых происходят объединения трех и четырех взаимодействий, намного превосходят возможности современных или даже будущих ускорителей.

Чтобы оценить масштабы масс, при которых происходит объединение, следует приравнять выражения ALPHA|, ALPHA|,

w s ALHPA| значению ALPHA|~0.01, которое (как мы отмечали ранее)

g e можно полагать постоянной. Тогда получаем следующие значения масс, объединяющих различные взаимодействия (см. таблицу).

Значение массы, при Объединение взаимодействий котором происходят

объединения (m|)

p

Электромагнитное-слабое 10**2 Электромагнитное-слабое-сильное 10**15 Электромагнитное-слабое-сильное-гра- 10**19

витационное

Из этой таблицы следует ряд примечательных следствий. Во-первых, объединение трех и четырех взаимодействий в принципе возможно, поскольку существуют значения масс, при которых происходит слияние трех и четырех констант. Во-вторых, в объединенных теориях возникают огромные масштабы масс — 10**15 m| и 10**19 m|. Например, для