Морис Клайн - Математика. Поиск истины.

Хотя Декарт предпринял первые шаги к изучению законов движения, он не пытался всерьез заняться проблемами, возникшими в связи с утверждением гелиоцентрической теории. Согласно этой теории, Земля, вращаясь вокруг своей оси, одновременно обращается вокруг Солнца. Почему тела не срываются с движущейся Земли? Почему брошенные тела должны падать на Землю, если она не является центром Вселенной? Более того, все тела, в частности свободно брошенное тело, движутся так, будто Земля покоится. Чтобы объяснить все эти земные явления, требовались какие-то новые принципы движения.

Дерзкий новаторский подход Галилея, развитый его последователями, состоял в том, чтобы получить количественные описания явлений , представляющих научный интерес, независимо от каких бы то ни было физических объяснений. Поясним на примере. Представим себе простую ситуацию: мяч, выпущенный из руки, падает на землю. Почему он падает? В объяснение этого можно приводить бесчисленное множества гипотез. Галилей рекомендует поступить иначе. По мере того как время, отсчитываемое от начала падения, увеличивается, растет и расстояние, пройденное мячом от начальной точки. На математическом языке и расстояние, проходимое мячом при свободном падении, и время, отсчитываемое от начала падения, называются переменными, ибо в процессе падения и то и другое изменяется. Галилей попытался найти математическое соотношение между этими переменными. Полученный им результат нетрудно записать с помощью принятой в современной науке «стенографии» — в виде формулы. Формула, о которой идет речь, имеет вид s = gt 2/2 = 4,9t 2 (где g = 9,8 м/с 2— ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли). Она означает, что расстояние (в метрах), проходимое падающим мячом за t секунд, в 4,9 раза больше квадрата числа секунд. Например, за 3 с мяч пройдет при свободном падении 4,9×3 2= 44,1 м, за 4 с: 4,9×4 2= 78,4 м и т.д.

Отметим, что формула компактна, точна и отличается количественной полнотой. При любом значении одной переменной (в нашем примере — времени ) формула позволяет точно вычислить соответствующее значение другой переменной (расстояния). Эти вычисления могут быть выполнены при любом (в действительности неограниченном) числе значений временной переменной, поэтому простая формула s = 4,9t 2 в действительности содержит в себе бесконечно много информации.

Следует подчеркнуть, однако, одно важное обстоятельство: эта математическая формула описывает то, что происходит, не объясняя причинной связи, т.е. ничего не говорит о том, почему мяч падает. Она лишь дает нам количественную информацию о том, как происходит падение мяча. Обычно ученый пытается установить математическую зависимость (выражаемую формулой) между переменными, которые, как он надеется, имеют причинно-следственную связь. Но для успешного решения этой задачи — установления математической зависимости между переменными — ученому вовсе не обязательно исследовать или понимать причинную зависимость. И это отчетливо понимал Галилей, отстаивая приоритет математического описания перед менее успешным качественным исследованием и поиском причинных связей в природе.

Галилей решительно отдавал предпочтение поиску математических формул, описывающих явления природы. Сама по себе эта идея, как и большинство идей, рожденных гениями, поначалу не производит особого впечатления. Много ли проку в «голых» математических формулах? Ведь они ничего не объясняют. Они просто описывают происходящее на точном языке, не допускающем недомолвок и иносказаний. Тем не менее именно формулы оказались наиболее ценным знанием, которое людям удалось получить о природе. Как мы увидим в дальнейшем, поразительные практические и теоретические достижения современной науки стали возможны вследствие того, что человечество накопило количественное описательное знание и научилось пользоваться им, а отнюдь не благодаря метафизическим, теологическим и даже механическим объяснениям причин наблюдаемых явлений.

В «Беседах и математических доказательствах, касающихся двух новых отраслей науки» (1638) Галилей вкладывает в уста одного из участников диалога (Сальвиати) такие слова:

Мне думается, что сейчас неподходящее время для занятий вопросом о причинах ускорения в естественном движении, по поводу которого различными философами было высказано столько различных мнений; одни приписывали его приближению к центру, другие — постепенному частичному уменьшению сопротивляющейся среды, третьи — некоторому воздействию окружающей среды, которая смыкается позади падающего тела и оказывает на него давление, как бы постоянно его подталкивая; все эти предположения и еще многие другие следовало бы рассмотреть, что, однако, принесло мало пользы. Сейчас для нашего Автора будет достаточно, если мы рассмотрим, как он исследует и излагает свойства ускоренного движения (какова бы ни была причина ускорения).

Итак, положительное физическое знание следует отделять от вопросов о причинной зависимости, а всякого рода предположения о физических причинах оставить в стороне. Галилей настоятельно советовал естествоиспытателям: не рассуждайте о том, почему происходит какое-то явление — описывайте его количественно.

Первая реакция на эту основополагающую идею Галилея, судя по всему, была отрицательной. В описаниях явлений с помощью формул большинство ученых видели лишь первый шаг. Истинную же задачу науки, по их убеждению, точно сформулировали последователи Аристотеля: пытаться найти физические объяснения наблюдаемых явлений. Даже у Декарта решение Галилея заняться поиском описательных формул вызвало протест: «Все, что Галилей говорит о телах, свободно падающих в пустоте, лишено всякого основания; ему следовало бы сначала определить природу тяготения». По мнению Декарта, Галилею следовало бы поразмыслить о первопричинах наблюдаемых явлений. Ныне, в свете последующего развития науки, мы понимаем, что стремление Галилея сосредоточить все усилия на количественном описании явлений было весьма глубокой и плодотворной идеей научной методологии. Смысл ее, по-настоящему уясненный лишь позднее, состоял в том, чтобы науку о природе как можно теснее связать с математикой.

Поиск формул, описывающих явления, в свою очередь вызывает вопрос: какие величины должны быть связаны формулами? Формула устанавливает взаимосвязь между численными значениями переменных физических величин. Значит, эти величины должны быть измеримыми. Еще один принцип, которому столь же неукоснительно следовал Галилей, заключался в том, чтобы измерять измеримое и делать измеримым то, что не поддается непосредственному измерению. Перед Галилеем встала проблема: как распознать те аспекты явлений природы, которые наиболее важны и могут быть измерены?