Морис Клайн - Математика. Поиск истины.

Многие математики с готовностью соглашаются, что их наука находит необычайно широкое применение, но признают свою несостоятельность в объяснении этого феномена. Замечательная группа французских математиков, работавших под коллективным псевдонимом Никола Бурбаки, утверждала, что между экспериментальными явлениями и математическими структурами существует близкая взаимосвязь. Однако абсолютно неизвестно, какими причинами обусловлена эта взаимосвязь, и вряд ли мы когда-нибудь узнаем. В далеком прошлом математические закономерности выводили из твердо установленных экспериментальных истин, в частности непосредственно из интуитивного восприятия пространства. Однако квантовая физика показала, что эта макроскопическая интуиция реальности охватывает и микроскопические явления совершенно иной природы, связывая их с математикой, которая заведомо была создана не как приложение к экспериментальной науке. Следовательно, перед нами не что иное, как контакт двух дисциплин, реальные связи между которыми скрыты глубже, чем можно предполагать априори. Математику можно представлять как своего рода хранилище математических структур. Некоторые аспекты физической или эмпирической реальности удивительно точно соответствуют этим структурам, словно последние «подогнаны» под них.

Ту же неспособность объяснить взаимосвязь между математикой и реальностью мы встречаем в письме Шарля Эрмита к Лео Кёнигсбергеру (1837-1921):

Эти понятия анализа существуют самостоятельно вне нас, образуя единое целое, лишь часть которого беспрепятственно, хотя и несколько загадочно, открывается нам; это целое ассоциируется с другой совокупностью объектов, которые мы воспринимаем органами чувств.

Другие мыслители также вынуждены были признать, что необычайная эффективность математики необъяснима. Так, философ Чарлз Сандерс Пирс (1839-1914) заметил: «По-видимому, в этом есть какая-то тайна, которую еще предстоит раскрыть». Впоследствии Эрвин Шрёдингер в книге «Что такое жизнь с точки зрения физика?» признавал, что суть открытия человеком законов природы вполне может лежать за границами человеческого разума. Другой выдающийся физик Фримен Дайсон также считает, что «мы, по-видимому, еще не приблизились к пониманию взаимосвязи между физическим и математическим мирами». К словам названных ученых остается только добавить высказывание Эйнштейна: «Самое непостижимое в этом мире то, что он постижим». Однако Джеймс Джинс утверждает, что физические понятия и механизмы — не более чем гипотезы, выдвигаемые при построении математического описания реального мира. Но это означает, что все понятия, которыми оперирует физика, вряд ли представляют собой нечто большее, нежели фантазии. По мнению Джинса, математические уравнения — единственное, что нам достоверно известно о явлениях физического мира. Урожай, венчающий все усилия в физике, — лишь набор математических формул; реальная сущность материальной субстанции навсегда останется непознаваемой.

И все же роль математики в современной физике несравненно шире, чем просто удобного инструмента исследования. Под этой ролью часто понимают обобщение и систематизацию (в символах и формулах) явлений, наблюдаемых и устанавливаемых с помощью физического эксперимента, и последующее извлечение из формул дополнительной информации, не обнаруживаемой ни наблюдением, ни экспериментом и не вытекающей из непосредственно полученных данных. Но такое толкование роли математики далеко не исчерпывает всех ее достижений. Математика составляет сущность естественнонаучных теорий, и ее приложения в XIX-XX вв. на основе чисто математических конструкций представляются нам еще более удивительными, чем все ее прежние успехи, достигнутые в эпоху, когда математики оперировали понятиями, навеянными непосредственно физическими явлениями. Хотя было бы неверно приписывать одной лишь математике такие достижения современной науки, как радио, телевидение, самолет, телефон, телеграф, высококачественная звукозаписывающая аппаратура, рентгеновские лучи, транзисторы, атомная энергия (и, увы, атомная бомба), вклад математики более фундаментален и существен, чем вклад экспериментальной науки.

Независимо от того, сколь приемлемы приведенные выше объяснения эффективности математики, есть основания утверждать, что новая физика — наука не столько механическая, сколько математическая. Хотя Максвелл при создании теории электромагнитного поля пытался изобрести механическую модель эфира, в своем окончательном виде его теория была по существу математической; «физическая реальность», которую описывают уравнения Максвелла, представляет собой смутное, «бесплотное» понятие электромагнитного поля. Даже Ньютон построил свои законы движения как чисто математическую структуру.

Возможно, Эддингтон прав, и знанием математических соотношений и структур исчерпывается все, чем может нас порадовать физическая наука. Джинс добавляет, что математическое описание Вселенной и есть окончательная реальность. Используемые нами для большей наглядности картины и модели (очень модное ныне слово) — шаг в сторону от реальности. За пределы математических формул мы выходим на собственный страх и риск.

Поскольку математика — творение человека и с ее помощью мы открываем совершенно новые физические явления, люди создают отдельные части окружающего их мира: тяготение, электромагнитные волны, кванты энергии и т.д. Разумеется, математик работает не в пустоте, а руководствуется данными чувственного опыта и эксперимента. Существует некий субстрат физического факта, но даже там, где налицо какая-то физическая реальность, совершенная организация, полнота, уточнение и понимание достаются только с помощью математики.

Наше знание зависит от человеческого разума ничуть не меньше (если не больше), чем от реальностей окружающего мира. Разум влияет даже на чувственное восприятие. Восприятие дерева без сознания его «древесности» лишено смысла. Набор чувственных восприятий сам по себе лишен смысла. Люди с их разумом составляют часть реальности. Наука более не противопоставляет природу как объект исследования и человека как субъекта, занимающегося ее описанием. Объект и наблюдатель неразделимы.

Граница между математическим и эмпирическим знанием не абсолютна. Мы непрестанно вносим коррективы в наши наблюдения и в то же время видоизменяем наши теории так, чтобы они соответствовали новым наблюдениям и экспериментальным результатам. Цель усилий, предпринимаемых как в развитии теории, так и в совершенствовании эксперимента — всестороннее и непротиворечивое описание физического мира. Математика служит своего рода посредником между человеком и природой, между внутренним миром человека и окружающим его внешним миром.