Джон Дербишир - Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

Рисунок 1.5.

Если продолжать действовать в том же духе и целиком использовать всю колоду, то за счет пятидесяти одной карты накопится нависание, равное

(самую нижнюю карту сдвигать бессмысленно). Такая сумма на самую толику меньше, чем 2,25940659073334. Таким образом, мы добились полного нависания более чем в две с четвертью длины! (Рис. 1.6.)

Рисунок 1.6.

Я был студентом, когда узнал про это. Дело было в летние каникулы, и я занимался подготовкой к следующему семестру, пытаясь несколько опередить программу. Свой вклад в оплату обучения я вносил, нанимаясь на время каникул рабочим на стройки — в Англии в те времена профсоюзы не сильно контролировали этот сектор. На следующий день после того, как я узнал про фокус с картами, мне предстояло в одиночку прибраться во внутренней части строящегося здания, где пачками хранились сотни больших квадратных потолочных панелей. Часа два я с забавлялся со стопкой из 52 панелей, пытаясь добиться нависания в две с четвертью панели. Проходивший мимо прораб застал меня глубоко погруженным в созерцание гигантской колышущейся башни, составленной из потолочных панелей, и он, я думаю, утвердился в своих худших подозрениях относительно целесообразности найма студентов.

Есть одна вещь, которую очень любят делать математики и которая оказывается очень плодотворной, — это экстраполировать , т.е. брать конкретную задачу и распространять ее выводы на более широкую область.

В нашей конкретной задаче у нас было 52 карты. Оказалось, что полное нависание составило более чем две с четвертью карты.

Но почему 52 карты? А если бы было больше? Сотня? Миллион? Триллион? А предположим, что у нас имелся бы неограниченный запас карт — какого максимального нависания мы смогли бы тогда добиться?

Сначала взглянем на нашу постепенно растущую формулу. При 52 картах полное нависание составило

Поскольку все знаменатели здесь четные, можно вынести одну вторую за скобки и переписать в виде

Если бы у нас была сотня карт, то полное нависание составляло бы

Имея в распоряжении триллион карт, мы добились бы нависания величиной в

Чтобы посчитать такое, требуется проделать немало арифметических действий, но у математиков есть способы спрямлять подобные вычисления, и я могу твердо заверить вас, что полное нависание в случае сотни карт будет лишь чуточку меньше, чем 2,58868875882, а для триллиона карт — на самую толику меньше, чем 14,10411839041479.

Полученные числа удивительны вдвойне. Во-первых, тем, что вообще удается добиться нависания в 14 с лишним карточных длин, пусть даже для этого понадобится триллион карт. Четырнадцать карточных длин — это более четырех футов, если брать стандартные игральные карты. А во-вторых, если об этом подумать, тем, что числа оказываются именно такими, а не большими. При переходе от 52 к 100 картам мы заработали дополнительное нависание лишь в одну треть длины карты (даже чуть-чуть меньше, чем в одну треть). А затем переход к триллиону — а колода в триллион стандартных игральных карт будет иметь такую толщину, что покроет большую часть расстояния до Луны, — принес нам всего лишь одиннадцать с половиной карточных длин.

Ну а если бы число карт у нас было неограниченным? Какого максимального нависания мы могли бы достичь? Замечательный ответ на этот вопрос состоит в том, что максимального нависания просто нет. Если в запасе имеется достаточное число карт, можно сделать нависание сколь угодно большим. Желаете получить нависание в 100 карточных длин? Пожалуйста, возьмите что-то около 405 709 150 012 598 триллионов триллионов триллионов триллионов триллионов триллионов карт — колоду, высота которой намного превысит размеры известной нам части Вселенной. А можно сделать и большее нависание, и еще большее — настолько большое, насколько захотите, если только у вас есть желание иметь дело с невообразимо большим числом карт. Нависание в миллион карт? Пожалуйста, но, правда, количество необходимых для этого карт будет таким большим, что только для записи этого числа понадобится нормального размера книга — в этом числе будет 868 589 цифр.

Теперь нам предстоит сосредоточить свое внимание на выражении в скобках, а именно

Математики говорят, что это — ряд ; ряд означает неограниченно продолжающееся суммирование членов, каждый из которых задается некоторым общим законом. В нашем случае члены ряда 1, 1/ 2, 1/ 3, 1/ 4, 1/ 5, 1/ 6, 1/ 7, … — это обратные величины к обычным натуральным числам 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ….

Ряд 1 + 1/ 2+ 1/ 3+ 1/ 4+ 1/ 5+ 1/ 6+ 1/ 7+ … играет в математике достаточно важную роль, чтобы иметь собственное название. Он называется гармоническим рядом.

Подведем промежуточный итог. Складывая достаточно большое число членов гармонического ряда, можно получить сколь угодно большой результат. У этой суммы нет предела.

Грубый, но распространенный и доходчивый способ выразить то же самое — это сказать, что гармонический ряд суммируется к бесконечности:

Хорошо воспитанных математиков учат морщиться при виде таких выражений; но я думаю, что с ними вполне можно иметь дело, если знать опасности, которые вас тут подстерегают. Леонард Эйлер, один из величайших математиков всех времен, использовал подобные выражения постоянно и весьма плодотворно. Но все же правильный, профессиональный математический термин, описывающий то, что здесь происходит, звучит так: гармонический ряд расходится.

Сказать-то я это сказал, но смогу ли я это доказать? Всем известно, что в математике каждый результат надо строго логически доказывать. Результат у нас такой: гармонический ряд расходится. Как его доказать?

Доказательство оказывается довольно простым и опирается только на самую элементарную арифметику. В Средние века его нашел французский ученый Никола Орем (ок. 1323-1382). [1] Никола Орем (Nicole d'Oresme) был не только математиком, но и естествоиспытателем, философом, физиком, астрономом и экономистом, а также воспитателем Дофина, будущего короля Карла V. (Примеч. перев.) Орем заметил, что сумма 1/ 3+ 1/ 4больше чем 1/ 2; равным образом и 1/ 5+ 1/ 6+ 1/ 7+ 1/ 8также больше чем 1/ 2; то же верно и для суммы 1/ 9+ 1/ 10+ 1/ 11+ 1/ 12+ 1/ 13+ 1/ 14+ 1/ 15+ 1/ 16. Другими словами, будем брать сначала 2, потом 4, потом 8, потом 16 и т.д. членов гармонического ряда и группировать их вместе; получится бесконечное число таких групп, каждая из которых в сумме превосходит одну вторую. Полная сумма, следовательно, должна быть бесконечной. Не стоит переживать из-за того, что размеры этих групп растут очень быстро: «в бесконечности» полно места, и неважно, сколько групп мы уже образовали, следующая все равно окажется на своем месте и к нашим услугам. Всегда есть возможность добавить еще одну а это и означает, что сумма растет неограниченно.