Годфри Харди. - Апология математика

Есть ещё одно замечание, которое напрашивается в этой связи. Физикам оно может показаться парадоксальным, хотя в настоящее время парадокс выглядит менее удивительным, чем восемнадцать лет назад. Я приведу его почти в тех же словах, в каких он был сформулирован в моём докладе на секции А Британской ассоциации[ 122 122 Британская Ассоциация по распространению научных знаний, основанная в 1831 году. ]. Моя аудитория почти целиком состояла из физиков, и поэтому вполне возможно, что моя речь была несколько провокационной. Впрочем, что касается её содержания, то я и сейчас целиком разделяю высказанную тогда позицию.

Я начал с утверждения о том, что различия между позициями математика и физика меньше, чем обычно принято думать. Самое важное заключается в том, что математик контактирует с действительностью гораздо ближе, чем физик. Такое утверждение может показаться парадоксом, так как именно физика, изучающего материальные предметы и явления, обычно принято называть "реалистом". Но достаточно немного поразмыслить, чтобы понять, что физическая реальность, какой бы она ни была, обладает весьма немногими атрибутами (если обладает ими вообще), которые здравый смысл интенсивно приписывает реальности. Стул может быть набором обращающихся вокруг ядер электронов или идеей в уме Господа Бога - каждое из этих описаний, возможно, обладает своими достоинствами, но ни одно из них не соответствует представлениям здравого смысла.

Далее я заметил, что ни физики, ни философы не дали сколько-нибудь убедительного описания "физической реальности" или того, как физик переходит от запутанной массы фактов или ощущений, с которой он начинает, к конструкции тех объектов, которые физик называет "реальными". Например, мы не можем сказать, будто бы нам известно, что такое физика, но это отнюдь не должно мешать нам понимать в общих чертах, что именно пытается делать физик. Ясно, что физик пытается скооперировать разрозненную массу сырых фактов, с которыми он сталкивается, имея в своём распоряжении некоторую определённую упорядоченную схему абстрактных отношений - ту разновидность схемы, которую физик может позаимствовать только из математики.

С другой стороны, математик имеет дело со своей собственной математической реальностью. Как было объяснено в §22, я предпочитаю "реалистическую", а не "идеалистическую" точку зрения на математическую реальность. Во всяком случае (и в этом состоял мой главный тезис), такая реалистическая точка зрения на математическую реальность гораздо более правдоподобна, чем на физическую реальность потому, что математические объекты в гораздо большей степени таковы, какими они кажутся. Стул или звезда ничуть не похожи на то, чем они кажутся; чем больше мы думаем об этом, тем более расплывчатыми становятся их очертания в мареве окружающих их ощущений; но "2" или "317" не имеют никакого отношения к ощущениям, и свойства числа выступают тем более отчётливо, чем пристальнее мы его рассматриваем. Возможно, что современная физика лучше всего укладывается в рамки идеалистической философии. Лично я в это не верю, но так говорят некоторые выдающиеся физики. С другой стороны, чистая математика представляется мне скалой, на которой зиждется идеализм: число 317 простое не потому, что мы думаем так, и не потому, что наш разум устроен так, а не иначе, а потому, что это так, потому, что математическая реальность устроена так.

Эти различия между чистой и прикладной математикой важны сами по себе, но не имеют особого отношения к нашему обсуждению "полезности" математики. В §21 я говорил о "настоящей" математике Ферма и других великих математиков - математике, имеющей непреходящую эстетическую ценность, как, например, лучшие образцы древнегреческой математики, математике вечной потому, что её лучшие произведения, подобно лучшим литературным произведениям, продолжают доставлять эмоциональное удовлетворение тысячам людей и поныне, тысячи лет спустя. Творцы этой математики были преимущественно чистыми математиками (хотя в то время различие между чистой и прикладной математикой было значительно менее чётким, чем теперь), но я думал не только о чистых математиках. К "настоящим" математикам я причисляю Максвелла и Эйнштейна, Эддингтона[ 123 123 Эддингтон, Артур Стэнли (1882-1944) - английский физик и астрофизик. ] и Дирака. Великие современные достижения в области прикладной математики были и в теории относительности, и в квантовой механике, и эти разделы науки, по крайней мере сейчас, почти столь же "бесполезны", как и теория чисел. На добро или на зло работают скучные элементарные разделы прикладной математики, равно как и скучные элементарные разделы чистой математики. Время может коренным образом изменить всё это. Никто не предвидел, что теории матриц и групп, а также другие чисто математические теории найдут применение в современной физике, и вполне может случиться так, что какие-то разделы "высоколобой" математики неожиданно станут "полезными". Но, как показывает накопленный опыт, как в одной области знания, так и в другой, в практической жизни полезно то, что обыденно и скучно.

Я помню Эддингтона, подававшего счастливый пример непривлекательности "полезной" науки. Британская ассоциация проводила заседание в Лидсе, и кому-то пришла в голову мысль, что её членам, возможно, будет интересно послушать о приложениях науки в индустрии обработки шерсти. Но организованные с этой целью лекции и демонстрации потерпели фиаско. Выяснилось, что члены Ассоциации (независимо от того, были ли они жителями Лидса или нет) жаждали развлечений, а индустрия обработки шерсти не была особенно занимательной. Поэтому посещаемость лекций была разочаровывающе низкой. Что же касается лекций о раскопках на Кноссе, теории относительности или теории простых чисел, то они вызвали восторженные отзывы собиравшейся на них аудитории.

Какие разделы математики полезны?

Прежде всего те, что составляют школьную математику: арифметика, элементарная алгебра, элементарная евклидова геометрия, начала дифференциального и интегрального исчисления. Из этого перечня нам придётся исключить некоторое количество того, чему учат "специалистов", например, проективную геометрию. В прикладной математике полезны элементы механики (теорию электричества в том виде, в котором её преподают в школе, следует классифицировать как физику).

Полезна также значительная часть университетской математики, а именно та её часть, которая по существу служит продолжением школьной математики, но с более изощрённым аппаратом, и некоторые физики, такие, как теория электричества и гидромеханика. Следует помнить, что любой запас знаний всегда является преимуществом и что самые практичные математики могут оказаться в серьёзном затруднении, если их знания ограничены голым минимумом, включающим в себя только самое необходимое. Из этих соображений к каждому из перечисленных выше разделов математики необходимо немного добавить. Что же касается нашего общего заключения, то оно сводится к следующему: математика полезна в том объеме, в котором она востребована инженером высшей квалификации или физиком "средней руки", или, иначе говоря, "полезная" математика не отличается особыми эстетическими достоинствами. Например, евклидова геометрия полезна постольку, поскольку она скучна - нам ни к чему аксиомы о параллельных, теория пропорций или построение правильного пятиугольника.