Иэн Стюарт - Истина и красота. Всемирная история симметрии.

В качестве второго примера рассмотрим, что делает UQ . Преобразования выполняются следующим образом:

Как симметрии равностороннего треугольника соответствуют перестановкам.

Мы видим, чему равен результат перемножения симметрий: он равен P . Значит, UQ = P.

Из наших шести симметрий можно можно образовать тридцать шесть произведений, а вычисления можно свести в таблицу умножения. Получается в точности та же таблица, которая у нас была для шести перестановок корней кубического уравнения.

Обнаруженное совпадение дает пример одного из наиболее мощных методов во всей теории групп. Его истоки — в работах французского математика Камиля Жордана, до известной степени превратившего теорию групп из метода анализа решений уравнений в радикалах в самостоятельный предмет.

Около 1870 года Жордан привлек внимание к тому, что сейчас называют теорией представлений. Для Галуа группы были составлены из перестановок — способов перетасовки символов. Жордан начал задумываться о способах перетасовки более сложных пространств. Среди наиболее фундаментальных пространств в математике имеются многомерные пространства, а их самое важное свойство состоит в существовании прямых линий. Естественный способ преобразования такого пространства состоит в том, чтобы прямые линии оставались прямыми. Никаких изгибов, никаких скручиваний. Имеется много преобразований такого рода — вращения, отражения, изменения масштаба. Все они называются линейными преобразованиями.

Английский юрист и математик Артур Кэли открыл, что любое линейное преобразование можно связать с матрицей — квадратной таблицей из чисел. Любое линейное преобразование трехмерного, например, пространства можно задать, записав таблицу размером 3 на 3 из вещественных чисел. Так что преобразования можно свести к алгебраическим вычислениям.

Теория представлений позволяет начать с группы, которая не состоит из линейных преобразований, и заменить ее некоторой группой, состоящей из линейных преобразований. Преимущество конвертации группы в группу матриц состоит в том, что матричная алгебра является очень глубокой и мощной, и Жордан был первым, кто это увидел.

Взглянем на симметрии треугольника с Жордановой точки зрения. Вместо размещения разных кружков по углам треугольника я расставлю там символы a, b, c, соответствующие корням общего кубического уравнения. Тогда становится очевидным, что каждая симметрия треугольника также переставляет эти символы. Например, вращение U отправляет abc в cab .

Шесть симметрий треугольника естественно соответствуют шести перестановкам корней a, b, c . Более того, произведение двух симметрий соответствует произведению соответствующих перестановок. Но вращения и отражения в плоскости являются линейными преобразованиями — они сохраняют прямые линии. Так что мы по-другому интерпретировали группу перестановок — представили ее — как группу линейных преобразований, или, что то же самое, как некую группу матриц. Этой идее предстояло привести к глубоким следствиям как в математике так и в физике.

Симметрия перестала быть туманным ощущением скрытого порядка или художественным восприятием изящества и красоты. Она превратилась в ясную математическую концепцию со строгим логическим определением. Появилась возможность вычислять симметрии и доказывать о них теоремы. Родился новый предмет — теория групп. Погоня человечества за симметрией достигла поворотной точки. В качестве платы за вход в сообщество посвященных требовалась готовность мыслить более концептуально. Концепция группы носила абстрактный характер, на несколько шагов удаленный от традиционного «простого продукта», состоящего из чисел и геометрических форм.

Группы уже доказали, чего они стоят, когда была решена вековая загадка — вопрос о разрешимости уравнений пятой степени. Вскоре стало ясно, что тот же круг идей позволяет разобраться и с несколькими другими задачами, неразрешимыми в течение веков. При этом не всегда привлекалась именно теория групп как таковая — порой требовалось рассуждать так, как рассуждали Абель, Галуа и их последователи. И даже когда казалось, что группы не используются, они на самом деле находились совсем рядом, под самой поверхностью вещей.

Среди нерешенных задач, доставшихся потомкам в наследство от греческих геометров, три приобрели вызывающую известность — задача о трисекции угла, задача об удвоении куба и задача о квадратуре круга. Даже сегодня трисекция угла и квадратура круга привлекают к себе внимание многочисленных любителей, которые, по-видимому, не вполне охватили своим умом то обстоятельство, что когда математики говорят «невозможно», то именно это и имеется в виду. Удвоение куба несколько отстает по уровню популярности.

Об этих трех задачах часто говорят как о «трех задачах Античности», но такое определение создает преувеличенное представление об их важности. Из-за него они как будто стоят в одном ряду с главнейшими загадками в истории, такими как Последняя теорема Ферма, на которую не удавалось дать ответ в течение более 350 лет. Однако отличие здесь в том, что все ясно сознавали: Последняя теорема Ферма — нерешенная задача, причем можно конкретно указать, когда именно она была впервые поставлена в математической литературе. Все математики были в курсе относительно не только самой задачи, но и предполагаемого ответа, а также относительно того, кто первым поставил этот вопрос.

Греческие задачи — иные. Их не найти у Эвклида в перечне нерешенных, требующих внимания задач. Они существовали главным образом по умолчанию, как очевидные попытки обобщить полученные ранее успешные результаты, но почему-то Эвклид предпочитал их не упоминать. Почему? Потому что никто не знал, как взяться за их решение. Приходило ли грекам на ум, что они могут вовсе не иметь решения? Если и так, то никто не поднимал по этому поводу шума. Без сомнения, таким людям как Архимед приходило в голову, что эти задачи невозможно решить, используя циркуль и линейку, поскольку он разработал альтернативные методы, однако нет никаких свидетельств, что сам по себе вопрос о возможности построения представлялся Архимеду важным.

Этот вопрос приобрел важность позднее. Отсутствие решений этих задач свидетельствовало о серьезных пробелах в достигнутом человечеством понимании геометрии и алгебры; они вошли в моду как «фольклорные» задачи, известные профессионалам через некое подобие культурного осмоса. К тому времени как было получено их решение, они приобрели ауру исторической и математической значительности. Их решение воспринималось как важнейший прорыв — в особенности это касалось квадратуры круга. И ответ во всех трех случаях был один и тот же: «невозможно». Невозможно с использованием традиционных инструментов — циркуля и линейки.