Алексей Лосев - Хаос и структура

Под «анализом» обычно понимается дифференциальное и интегральное исчисление, т. е. изучение функций в условиях бесконечного процесса. Тем не менее «аналитическая геометрия» — вовсе не та геометрия, в которой применены методы исчисления бесконечно–малых. Это, вообще говоря, изучение геометрических элементов с точки зрения алгебры, так что правильнее всего было бы назвать ее алгебраической геометрией. Там же, где применены методы исчисления бесконечно–малых (т.е. методы «анализа»), [учение] называется не аналитической геометрией (как это требовала бы логика), но почему–то дифференциальной геометрией, а частью этот материал излагается прямо в курсах самого же анализа. Неизвестно также, почему эта геометрия называется дифференциальной, а не дифференциально–интегральной (раз там применены не только дифференциалы, но и интегралы). А то, что составляет содержание т. н. теории чисел (напр., все рассуждения о делимости), ничем принципиально не отличается от содержания обычной «арифметики», равно как и «высшая алгебра» содержит в себе теорию всех тех же управлений, что и «элементарная алгебра», только что эта теория и эти уравнения здесь посложнее и потруднее. Такая педагогическая и историко–психологическая точка зрения в классификации математического материала, конечно, должна быть нами отброшена.

2. Что же составляет подлинный и логически выдержанный предмет арифметики и алгебры?

Арифметика есть учение о «числе в себе», т. е. о непосредственном бытии числа. Этим она резко отличается от алгебры, оперирующей не с числами, но с функциями. Но тогда к арифметике надо отнести все типы числа, если только они имеют непосредственное значение. Прежде всего к арифметике должно быть отнесено употребление отрицательных чисел. На каком основании это понятие отнесено к алгебре и что алгебраического в отрицательной величине? Раз арифметика действует с положительными числами и, кроме того, еще действует с нулем, то очень странно, если тут же не будет еще и категории отрицательного числа. Фактически арифметика и употребляет отрицательные числа (напр., в рассуждениях о купле и продаже, в учении о векселях и пр.), но в угоду логическому принципу маскирует это употребление, относя соответствующую терминологию в другую науку.

Далее, вполне арифметичны рассуждения и о бесконечности. Бесконечное число есть особого рода число. Оно оценивается в своей самостоятельной и непосредственной данности; и нет нужды выбрасывать его из арифметики. Точно так же необходимо внести в арифметику теорию мнимых величин, рассматриваемую почему–то частью в алгебре (обычно — мелким шрифтом, так что сами авторы, по–видимому, не знают, здесь ли подлинное место для нее), частью в анализе (хотя к последнему относится только теория функций комплексного переменного, а не арифметика мнимостей). Решительно нужно выбросить из алгебры также действия над степенями и корнями. Это вполне непосредственные операции над непосредственно и самостоятельно данными величинами. Сюда же надо отнести и логарифмирование, хотя его почти всегда отрывают от статьи о степенях и корнях, с которой оно существенно связано.

И вообще алгебра отличается от арифметики не тем, что она пользуется какими–то особенными действиями, которых нет в арифметике, или какими–то новыми типами чисел, которых нет в арифметике. Вовсе не в этом принципиальное отличие. Единственное принципиальное отличие алгебры от арифметики заключается в том, что тут—инобытие всех арифметических чисел и действий, инобыгийный их коррелят. В них не вносится ровно ничего нового, и их система ровно ни в чем не меняется. Но все эти числа и действия, все вместе, как некая целостная сфера, целиком переносятся в новую область; и в этой области они подвергаются, опять–таки все вместе, единообразной модификации. Область же эта есть область функциональных отношений. Следовательно, в алгебре не будет ничего нового в смысле категории числа или категории действий, ибо все эти категории относятся к сущности чисел и действий, а вся сущность обрисована в арифметике. В алгебре—те же категории, но только иное их употребление, а именно употребление функциональное, употребление в составе функций и их преобразований. Это и есть сущность алгебры.

3. Другое дело — отличие алгебры от анализа. И то и другое есть учение о функциях. Но к алгебре относятся функции с подлинными величинами, к анализу же — функции при бесконечно–малых процессах изменения аргумента. Возникающие здесь сложные переплетения алгебраических и аналитических методов будут у нас предметом рассмотрения в своем месте.

Как было установлено в § 81, та первая сфера интенсивного числа, которая у нас условно наименована сущностью числа, распадается на три основных раздела.

A. Арифметика, или учение о непосредственной сущности числа в ее бытии.

B. Алгебра, или учение о непосредственной сущности числа в ее инобытии.

C. Алгебраический анализ, или учение о непосредственной сущности числа в ее становлении (включая и прочие основанные на становлении категории).

Теперь наконец мы вступаем в область философского понимания обыкновенного математического материала.

Сущность числа есть такое «число в себе», которое утверждено как непосредственно данное бытие. Оно, это число, не указывает на какое–то другое, уже чисто числовое значение, но само есть это чисто числовое значение. Потому это есть всецело область арифметики. Алгебра создает только функциональный дублет к непосредственной значимости числа. Арифметической величине диалектически противостоит алгебраически–аналитическая величина, которая выражена опосредствованно, при помощи букв и функционных обозначений. Непосредственное бытие числа в себе, данное как простой акт бытия, есть акт полагания; акт же полагания есть

I. натуральный ряд чисел.

Сосредоточимся на этом примитивном акте полагания, рождающем из себя натуральный ряд чисел. Будем наблюдать диалектическую эволюцию только [э]того акта полагания. Другими словами, мы отвлечемся от того инобытия, которое выводит вообще за пределы арифметики и науки, давая функциональное построение непосредственно арифметических величин, ведет уже к алгебре. Будем оперировать только с указанными примитивными числовыми актами, чтобы остаться всецело в сфере арифметики. Тогда возникнут свои собственные, уже чисто арифметические, триады, тетрады, пентады и т.д. Будем в этой общей сущности числа как бытия (арифметика) считать натуральный ряд за бытие, т.е. в сфере получаемого бытия установим свое собственное бытие, или, так сказать, бытие бытия. Что тогда будет в этом смысле инобытием бытия?