Алексей Лосев - Хаос и структура

3. Антиномии и типы бесконечности. Вопрос об антиномиях, равно как и вопрос о типах бесконечности, — не только сложная вещь, но она потребовала бы и слишком пространного изложения. Заниматься этим, однако, должны теоретико–философские сочинения, в то время как настоящее сочинение имеет очень узкие цели, да и занимается математический анализ, если его брать в чистом виде, только одним специфическим типом бесконечности. Поэтому, не развивая антиномики бесконечного в систематическом виде, формулируем то, что уже было сказано выше, в расчлененно–антиноми–ко–синтетической форме и тем самым дадим по возможности четкое изображение диалектики понятия бесконечности.

I. 1. Целое состоит из частей, так как в нем ничего и нет, кроме частей.

Это значит, что целое тождественно со своими частями.

Но тогда оно распростерто по всем своим частям и, след., находится везде.

Итак, целое, состоя из частей, находится везде.

2. Целое не состоит из частей, так как ни одна часть, взятая сама по себе, не говорит о целом, и, след., не говорят о нем и все части, взятые вместе.

Это значит, что целое не содержится в своих частях, т. е. оно не находится нигде.

Итак, целое, не состоя из частей, нигде не находится.

3. Целое и состоит, и не состоит из своих частей, т. е. оно сразу и одновременно и находится везде, и не находится нигде.

Но «состоять» и «не состоять», равно как и «везде» и «нигде», связаны между собой антитетически, т. е. как бытие и небытие. Поэтому связаны они между собой как становление одного другим.

Следовательно, целое и его части находятся в процессе становления, в котором они взаимно переходят одно в другое, т. е. целое неразличимо становится самими частями и части неразличимо становятся целым.

II. 1. Целое—везде.

Это значит, что части его взаимно неразличимы.

2. Целое — нигде.

Это значит, что части его взаимно различимы.

3. Целое—и везде, и нигде.

Следовательно, части целого находятся в процессе становления, в котором они взаимно переходят одна в другую, т. е. каждая отдельная часть неразличимо становится каждою другою частью.

III. 1. Целое становится частями, как и части целым; и части становятся одна другою.

2. Но в становлении отождествлены бытие и небытие.

Здесь бытие становится небытием; стало быть, оно уничтожается.

И небытие становится бытием; стало быть, оно возникает.

Становление, следовательно, есть противоречие возникновения и уничтожения.

Разрешается это противоречие в такой категории, где возникновение и уничтожение совпадают.

Эта категория есть то, что получается в результате становления, т. е. ставшее. И ставшее возникает в каждый мельчайший момент становления; поэтому ставшее в свою очередь пребывает в процессе становления, рассыпаясь на бесконечное количество ставших моментов и из них восстановляясь.

3. Целое и части, а также части между собой возникают одно из другого и уничтожаются одно в другом при полном отождествлении этих процессов. Становящееся тождество возникновения и уничтожения есть бесконечность.

В результате этого бесконечностью нужно считать такой процесс, в котором каждый мельчайший новый момент есть возникновение нового, небывалого и в то же время уничтожение как всех старых моментов, так и самого себя.

Полученное нами здесь понятие бесконечности может быть развито в трех разных направлениях.

Во–первых, можно в этом понятии выдвигать на первый план момент количества, счетности. Хотя, строго говоря, бесконечность не есть нечто количественное и ее нельзя получить в результате счета, все же она относится к числовой сфере, и какую–то количественность она в себе содержит. Эта количественность совсем особого рода. Тут отдельные моменты количества слиты один с другим до полной неразличимости. И тем не менее они все же наличны. Упирая на счетность, мы получим тип бесконечности, который есть.

I. Арифметическая бесконечность. С этим типом бесконечности мы стараемся производить обычные арифметические операции, хотя своеобразие этой категории приводит к своеобразию и операций над нею.

Во–вторых, в общем понятии бесконечности мы можем выдвинуть то, что является антитезисом всякой раздельной счетности, т. е. чистую стихию становления, чистую процессуальность, становящуюся неразличимость. Без этого момента бесконечность также немыслима, хотя она и не есть только этот момент. Этот тип бесконечности и есть тот тип, который рассматривается в чистом математическом анализе. Отсюда ее можно назвать и соответствующе:

II. Аналитическая бесконечность.

Наконец, можно выдвигать в общем понятии бесконечности оба этих момента вместе — раздельную счетность и неразличимое становление (невозможность счета). Тогда первый момент воплотится на втором, как всякая отвлеченная идея воплощается на безразличном материале. Идея — раздельность, логическая последовательность, форма и система; становление безраздельно, алогично и бесформенно. Объединение их дает фигурную бесконечность, определенным образом оформленную, «упорядоченную», ту, которая является предметом особой математической науки, — учения о множествах. Ей можно дать тоже свое название.

III. Аритмологическая бесконечность.

Арифметическая, аналитическая и аритмологическая бесконечности суть три наиболее ярко отличающиеся друг от друга типа бесконечности. Немудрено, что ими занимаются три столь различные математические науки.

Нас в дальнейшем будет интересовать, конечно, только второй тип бесконечности — аналитический.

4. Непрерывность (постоянная и переменная величина), прерывность и предел. Однако прежде чем войти в рассмотрение самого математического анализа, необходимо определить еще ряд категорий, которые так же основоположены для анализа, как и понятие бесконечности. Их тоже обычно излагают в случайной форме, не связывая в диалектическую систему, в то время как это касается самых основных сторон математики, и они не могут не иметь диалектического строения, если все вообще категории возникают диалектически.

Ряд категорий, которые требуют нашего рассмотрения, отличаются одним общим признаком. Число есть непосредственное бытие; в нем нет еще различия между самим числом и его значением. До сих пор мы имели число само по себе. Целое, дробное и бесконечное число есть значения числа в смысле его внутреннего строения. Чтобы узнать, является ли данное число целым или дробным, необходимо всмотреться в само число непосредственно, не обращая никакого специального внимания на фон, его окружающий. Это касается и не только числа. Чтобы судить, является ли данная вещь цельной, надо, очевидно, рассмотреть строение самой вещи, как оно дано в контурах, внутри контуров данной вещи. Когда сосуд, напр., имеет трещину или дыру, то для констатирования этого достаточно только изучить сосуд в тех границах, которые даны очертанием этого сосуда. И мы вполне будем в состоянии определить, является ли данная ваза целой, или она разбита. Однако о значении числа или вещи можно говорить и с точки зрения их внешней судьбы. Можно представить себе, что вещь мыслится совершенно неизменной сама по себе, но что она погружена или вовлечена в какое–нибудь изменение, оставаясь сама по себе целой. Можно иметь одно и то же число или комбинацию чисел и, оставляя их в одном и том же виде, придавать им те или иные внешние значения. Тут не будет ни просто числа, взятого в его непосредственности, вне каких бы то ни было количественных значений, ни числа, в котором имеются в виду только изменения во внутренней структуре. Тут число вступит в новые значения при полном сохранении внутренних структур или, вернее, независимо ни от каких внутренних структур.