Алексей Лосев - Хаос и структура

А. Ф. Лосеву не удалось реализовать в полном объеме замысел строго диалектического обоснования математики. Причиной тому следует указать как обстоятельства общего плана (вряд ли подобное предприятие по силам одному человеку, даже при самых благоприятных внешних условиях), так и частные обстоятельства печального свойства, о которых уже говорилось выше. Добавим еще одно: значительная часть довоенных рукописей периода максимальной активности автора на философско–математическом поприще погибла летом 1941 г. в результате прямого попадания фашистской авиабомбы в дом на Воздвиженке, где была квартира А. Ф. Лосева. Чего–то не успел сделать или не дали, что–то было, готовое, уничтожено. Потому теперь приходится заниматься реконструкцией общей панорамы математических наук, как она представлялась автору «Диалектических основ математики» (особо ценны для нашей задачи § 9, 34, 80 упомянутой книги), а также отыскивать следы прежних замыслов в более позднем творчестве философа. По ходу этих операций будут видны и общие контуры всей конструкции, и следы утраченных ее деталей.

Математика как феномен культуры. Проведя исходное тематическое разделение по сферам

a) философии чистой математики,

b) философии математического естествознания,

c) культурно–социальной истории числа (33), А. Ф. Лосев сосредоточил свой анализ на первой сфере, вынужденно «оставляя пока в стороне естествознание, психологию, социологию, теорию самой диалектики числа и историю» (35). Характерно это «пока». Нам неизвестны лосевские работы, специально посвященные «временно покинутым» темам, однако интерес к социально–культурным типологиям, к «физиономике» математических воззрений можно проследить у него на протяжении всей жизни. В тех же «Диалектических основах математики» нетрудно обнаружить примеры напряженного внимания автора к социально–исторической обусловленности тех или иных математических построений. На них, кстати, особо обращает внимание читателей первый и самый чуткий рецензент книги — В. М. Лосева (14). Или взять один из таких «бродячих» сюжетов в творчестве А. Ф. Лосева, как логику исчисления бесконечно–малых. В роли своеобразного пробного камня она многократно привлекалась философом то для характеристики мировоззренческого стиля Возрождения (с его богоборческим лозунгом quo поп ascendam) и вообще «прогрессизма» новоевропейской культуры, то для анализа телесных интуиций античности и ранней истории представлений о дискретности, пределе и континууме. В своем неизменно типологическом отношении к различным проявлениям духа, к различным культурам А. Ф. Лосев предстает несомненным продолжателем усилий О. Шпенглера, для которого «то, что выражается в мире чисел», всегда «есть стиль души» [263] Шпенглер О. Закат Европы. Т. 1. М., 1993. С. 208. Ср. наст, изд., с. 28. . Метаматематика обязана быть еще и морфологией культуры.

Философия чистой математики. Область собственно математики, с точки зрения философа, разделяется также на три сферы:

a) общая теория (логика) числа, исследующая перво–принципы числа, число как таковое, сущность числа,

b) философия математических дисциплин, специальная теория числа, теория числа в частности, теория числа как явления,

c) философия теории вероятностей и математической статистики, исследующая число в казусах, в жизни, в действительности (40).

Дошедшая до нас часть «Диалектических основ математики» вполне представляет всю общую теорию числа (§ 10—78) и дает переход к специальным вопросам (§ 81 и далее). Специального исследования «числа в жизни» (теоретико–вероятностной проблематики) автор не оставил, однако о многом мы можем–таки судить: каждый шаг лосевской аксиоматики получал завершение именно на материале данного слоя математической реальности.

Специальная теория числа. Здесь также проводится классически–триадное разделение:

а) науки о бытии или сущности числа, об интенсивном числе (арифметика, алгебра, анализ),

b) геометрические науки об инобытии или явлении числа, об экстенсивном числе,

c) теория множеств как наука о синтезе арифметической и геометрической ипостасей числа, об эйдетическом числе.

Второй и третий разделы, строго говоря, нужно отнести к утратам. Исчез, например, целый том по геометрии, о котором несколько раз (227, 302) А. Ф. Лосев упоминает и куда отсылает за подробностями. Однако примем в расчет, что логико–диалектической проработкой геометрических идей автор занимался уже на страницах книги «Античный космос и современная наука». С тем же упреждением осваивалась и теоретико–множественная проблематика, если иметь в виду раннюю «Музыку как предмет логики». Словом, уже дошедшего—много. Даже одно только напоминание о глубинном единстве наглядно–геометрических и счетно–арифметических подходов, убедительно демонстрируемое лосевской метаматематикой, будет весьма кстати сегодня, когда философы и математики все еще бьются над во многом уже решенными, как оказывается, проблемами. Для примера укажем на оппозицию «арифметического» (Rechnen) и «геометрического» (Zeichnen), о которой всерьез заговорил за рубежом Д. Фанг, а у нас—К. И. Вальков [264] Вальков К. И. Моделирование и формализация. Л., 1984. . Пора на самом деле «обратиться к беспристрастному и ко всему одинаково равнодушному суду диалектики» (389), а не замирать, по Фангу, в безмолвном ужасе перед сфинксом «единой и неделимой и, в конечном итоге, непостижимой тотальности» математики или же вместо одной крайности — излишней «арифметизации» впадать в другую — в крайность «геометризма» [265] Фанг Дж. Между философией и математикой: их параллелизм в «параллаксе» // Вопросы истории естествознания и техники. 1992. № 2. С. 8. .

Бытие числа (интенсивное число). Науки о бытии или сущности числа можно представить, согласно А. Ф. Лосеву, в виде диалектической триады:

a) арифметика и алгебра как учения о неизменной сущности числа, о постоянных величинах и их функциях,

b) дифференциальное, интегральное и вариационное исчисления как учения об инобытийной изменчивости числа, о переменных величинах и их функциях в скалярной форме,

c) векторное и тензорное исчисления как учения о действительности числа, о числе синтетическом, ориентированном, направленном (442).

Здесь второй и третий разделы, если опираться только на «Диалектические основы математики», также следует считать утраченными. Однако определенный анализ диалектической сущности, например, интеграла и дифференциала также отыскивается в книге «Музыка как предмет логики». Утрату содержательной части второго раздела в некоторой мере восполняет публикуемая в настоящем томе работа А. Ф. Лосева «Некоторые элементарные размышления о логических основах исчисления бесконечно–малых».