Алексей Лосев - Хаос и структура

4. В связи с этим аксиома самотождественного различия примет форму, аналогичную с геометрией, но с переходом к чисто числовой интерпретации. В геометрической совокупности даны абсолютно изолированные по акту своего полагания элементы. Но в геометрии они даны сами по себе, без влияния на числовое содержание совокупности. Здесь же смысловое содержание множества будет в точности соответствовать инобытийным актам полагания. Соответственно изменится и формулировка аксиомы.

Аксиома самотождественного различия в теории множеств: множество есть совокупность абсолютно изолированных элементов, возвратившихся из инобытия к самим себе. Или подробнее: множество есть совокупность элементов, абсолютно изолированных по актам своего полагания, но отождествленных или различенных в точном соответствии с этими актами, однако же в их чисто числовом понимании.

5. Эту формулу выражают в теоретико–множественной аксиоматике иначе. Даже, собственно говоря, нельзя и сказать, что иначе. Дело в том, что обычная аксиоматика, с которой приходится встречаться в изложении теории множеств, слишком слепая и связанная; и никогда не знаешь, почему авторы берут эти, а не другие аксиомы и почему дают им то, а не иное выражение. Поэтому можно говорить только о более или менее отдаленном соответствии наивно–эмпирических обобщений конкретной теоретико–множественной аксиоматики с нашими аксиомами, выведенными в строжайшей системе с сознательным применением самого глубокого и точного философского метода—диалектического.

Именно, нашей аксиоме самотождественного различия в теории множеств соответствует, по–видимому, та аксиома Цермело и других, которая известна под названием аксиомы объединения, хотя и т. н. аксиома спаривания, по–видимому, говорит в значительной мере о том же самом. Аксиома объединения (Vereinigung) гласит у Цермело— Френкеля так: «Если т есть множество, содержащее по крайней мере один элемент, то существует объединенное множество, которое содержит в качестве элементов все вместе элементы т и также—только эти». Аксиома спаривания (Paarung) гласит: «Если а и b—два различных множества, то существует множество <���д, ft), которое содержит в себе множества а и ft— и только их — и которое может считаться парой а и ft». Взятые сами по себе, эти аксиомы весьма важны, потому что очень важно отметить различие отношения, в которое вступают между собою элементы разных множеств в зависимости от объединения самих множеств. Так, если город состоит из улиц, а улицы — из домов, то дома суть элементы вовсе не города, а только улицы; если дома в каком–то смысле могут считаться элементами города, то это надо фиксировать специально, что, по–видимому, и сделано в «аксиоме объединения». То же соответственно и в «аксиоме спаривания».

Однако такая формулировка весьма формалистична и недостаточна. Прежде всего, тут совершенно не подчеркнут спецификум множества; и аксиома сформулирована так, что она применима и к любой совокупности, и прежде всего к чисто арифметической. Эта аксиома говорит ведь только то, что если мы имеем сумму 5 и 7, то она будет содержать в себе все единицы пятерки и все единицы семерки, и только их. Такая безобидная вещь, конечно, тоже очень интересна, но место ее в арифметике, а не в теории множеств. Далее, совершенно не показано, зачем понадобилась такая аксиома и как она связана с самим понятием множества. Между тем в нашей — чисто диалектической — дедукции со всею ясностью показано, откуда получается такая аксиома и каково специфическое значение ее в теории множеств. Именно, показано, каким образом множества, инобытийные одно в отношении другого и, следовательно, являющиеся только частями какого–то другого, более общего множества, могут слиться в новое множество, в котором и не узнаешь никаких бывших самостоятельных «частей», но в котором все элементы всех объединенных множеств сольются в новую цельность и подчинятся новой смысловой структуре. Тут важно не то, что два множества можно объединить в одно целое (это обычно делается и в арифметике с любыми числами), а важно то, что из этого объединения получается совершенно новая смысловая структура, новая цельность, имеющая весьма мало общего с каждым из объединяемых множеств, но заново освещающая и переделывающая элементы этих первоначально данных множеств. Это и зафиксировано в нашей основной формулировке.

1. Эта аксиома самотождественного различия может быть выражена иначе, и в связи с этим есть смысл в соответствующем видоизменении этой аксиомы и для интенсивного и экстенсивного числа. А именно, поскольку в этих аксиомах идет речь об инобытии, полезно ввести различие «элемента» и «части». Говоря кратко и обще, элемент есть смысловой момент целого, а часть — инобытийный момент целого. Например, если условно согласиться, что точное определение прямой есть то, которое всегда дается в школах («прямая есть кратчайшее расстояние между двумя точками»), то на основании этого можно сказать: элементом прямой является наличие двух точек и частью прямой является тот или иной ее отрезок. Это, однако, относится скорее к определению понятия прямой и к определению элементов понятия прямой, а не самой прямой, и потому можно привести более яркий пример. Если я разобью мелодию, разыгрываемую на скрипке, на отдельные ноты, то каждая такая нота будет частью мелодии; когда же я реально начинаю играть на скрипке и всю эту мелодию воспринимаю как целое, то каждая нота уже оценивается в сфере целого, и тогда она не часть целого, но элемент целого. Часть есть инобытие элемента точно так же, как и все части, т. е. все есть инобытие всех элементов, т. е. инобытие целого. Целое осуществлено во всем, и элемент осуществлен в соответствующей части. Целое объем лет части и одухотворяет их, без чего они остались бы самими собою и не имели никакой связи ни между собою, ни с целым. Никакая отдельная линия, взятая сама по себе, не есть квадрат, и мы можем взять тысячу прямых, и из них никакого квадрата не получится. Но достаточно взять только четыре прямых и привнести извйе идею квадрата, как вдруг получается и самый квадрат. Идея же четырехугольника тоже не имеет ничего общего ни с самими прямыми линиями, ни с линиями вообще; иначе пришлось бы сказать, что сама идея четырехугольника четыреугольна или четырелинейна, что было бы нелепостью. Итак, целое и все, т. е. элемент и часть, взятые сами по себе, не имеют друг к другу никакого отношения; они взаимно инобытийны и диспаратны. И только вступая в объединение, они начинают осмыслять и оформлять друг друга. В различиях формы этого объединения и коренится расхождение трех аксиом самотождественного различия.