Алексей Лосев - Хаос и структура

Итак: арифметическое число подчинено закону счета, т. е. оперирование с ним не зависит ни от каких вне–количественных элементов, которые бы содержались в нем самом. Самотождественное различие говорит о статической составленности, взаимоприложенности отдельных элементов в некую цельную совокупность. Подвижной покой говорит о порядке следования этих элементов внутри полученной совокупности. Закон определенности числового бытия говорит уже о разных формах составления и упорядочения чисел, т. е. уже не об отдельном числе, но о разных числах. Оказывается, что когда мы берем и разные числа, то все равно операции с ними не зависят ни от какого вне–количественного их инобытия. Но это и значит, что мы считаем. Ибо арифметический счет как раз и основан на фиксации результатов вне–инобытийных, чисто количественных операций с разными числами.

1. В геометрии действует числовое инобытие. Однако, будучи оторвано от такого числа и являясь его диалектическим отрицанием, геометрическое инобытие слишком вещественно понимает бытийственную определенность. Все эти сочетания, перемещения и распределения происходят тут в отношении пространственных моментов. Закон определенности бытия в этой области есть закон оформления геометрических фигур, появляющихся как раз в результате определенных пространственных операций с применением идеи порядка. Это, конечно, всецело инобытийная упорядоченность, порядок самого инобытия, отрицающего числовую энергию и потому статического, как бы застывшего. В результате получается геометрическая фигурность, застывшая и пространственная, в которой основной закон — построенность из инобытий–ного материала на основании идеи порядка.

Аксиома определенности (закона) бытия в геометрии: геометрическая величина есть совокупность элементов, появляющаяся в результате операций над теми или другими совокупностями в зависимости от специфически–инобытий–ного порядка элементов, над которыми производится операция. Короче: геометрическая величина есть результат построения.

Если чисто числовые операции не зависят от числового инобытия и закон объединения чисел в результате этих операций есть закон их абсолютной количественности, то геометрические величины зависят от числового инобытия (пространства), и закон объединения инобытийных моментов есть тут закон их своей специфически инобы–тийной скомбинированности, или закон пространственного построения. В арифметике — счет и числовые операции, в геометрии же — построение и пространственные фигуры, или, вообще говоря, величины: вот закон определенности бытия там и здесь.

2. Как в отношении арифметики аксиома определенности числа дает перспективу на арифметические операции, так в отношении геометрии она дает перспективу на пространственные операции (в широком смысле), т. е. на диалектику образования геометрических величин. Отсылая к подробному освещению этой области в соответственном месте нашего исследования, мы позволим себе здесь только очень кратко наметить указанную перспективу. Последовательность образования геометрических фигур может быть, как и все на свете, только диалектической последовательностью, т. е. последовательностью категорий бытия, инобытия и становления, возглавленной при помощи соответствующего перво–принципа и сконструированной в этой взаимосвязи при помощи категорий различия, тождества, движения и покоя. Формулируем это сначала кратко.

a) Прежде всего, должен быть какой–то перво–принцип всякой геометрической фигурности, т. е. то совпадение всех геометрических противоположностей, которое образует сплошную неразличимость, действующую, однако, в качестве принципа различимости. Это, несомненно, есть точка.

Во всей математике, может быть, нет ни одного еще такого образа, который бы так адекватно изображал диалектическую установку всякого перво–принципа и всех математических перво–принципов вообще. Обычно все говорят, что «точка не имеет измерений», и в то же время когда хотят ориентироваться на линии, на плоскости и в пространстве, то никогда не прибегают ни к какому иному средству, как только к фиксации точек. Таким образом, уже элементарное использование этого понятия указывает на то, что точка есть и принцип неразличимости, и принцип отличимости одновременно. Это и делает ее геометрическим перво–принципом подобно единице в арифметике; а ее наглядность и общепонятность превращают ее в самый ясный и безупречный образ математического перво–принципа вообще.

b) Далее, точка, подобная всякому перво–принципу, переходит в отрицание себя, в свое инобытие; она противопоставляет себя себе же самой. Это значит, что она становится линией, так как две точки уже определяют прямую (простейший вид линии) целиком. Но и для линии нет никакого иного пути к саморазвитию, как только переход в свое отрицание, в свое инобытие. Линия, взятая как таковая, требует своего «оформления»; на нее надо посмотреть «извне». А это и выполняется здесь в буквальном смысле, как только мы выйдем за пределы самой линии и отметим хотя бы одну какую–нибудь точку вне данной линии. Ясно, что мы переходим к плоскости, которая, как известно, вполне определена уже только тремя точками, если они не лежат на одной прямой. Точно таким же путем мы выходим за пределы плоскости и получаем трехмерное пространство. Точно так же, наконец, мы можем переходить и ко всякому другому следующему измерению и можем даже получить пространство с бесконечным числом измерений.

Этот метод получения основных геометрических категорий настолько ясен и прост и, я бы сказал, настолько банален и избит, что тут можно только ради шутки возражать против диалектических переходов.

с) Один момент в этом избитом умозаключении все же необходимо отметить. Именно, возникает вопрос: нет ли какого–нибудь осязательного ограничения в этом нагромождении бесконечного числа измерений? Нельзя ли здесь привести какую–нибудь более выразительную диалектику? Несомненно, ограничения здесь должны быть и теоретически, да и фактически мы почему–то по преимуществу имеем дело с трехмерным пространством и почему–то с большой неохотой переходим к дальнейшим измерениям. Мы к этому вопросу вернемся немного позднее, а сейчас укажем только на то, что основания для примата трехмерности с замечательной ясностью и прямотой вытекают из диалектики; и, кажется, иным путем и невозможно его обосновать.

Теперь остановимся на более подробном рассмотрении полученных нами геометрических категорий — линии, плоскости и пространства.

3. а) Как точка, этот наш исходный перво–принцип, переходит в линию? Как мы хорошо знаем, дело может обстоять только так, что точка начинает как бы дробиться, начинает противополагаться самой себе, переходить в инобытие. Тогда получается уже не точка вообще как перво–принцип, но точка как начало ряда, как то, что противопоставляется, — прежде всего, себе же самому (ибо пока ничего другого е1це нет). Итак, точка оказывается инобытием себя самой. Это возможно только тогда, когда между точкой как первоначальной данностью и точкой как данностью противопоставленной разыгрывается диалог при помощи указанных внутренних категорий, потому что обе эти точки должны различаться, должны двигаться и т. д.